1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром O, ∠AOC = 80°, ∠C : ∠A = 3 : 4. Найдите градусные меры дуг АВ, AC, BC.

Решение:

1. Центральный угол \( \angle AOC = 80^{\circ} \) равен градусной мере дуги \( AC \). Следовательно, дуга \( AC = 80^{\circ} \).
2. Пусть градусная мера дуги \( AB = 3x \), а градусная мера дуги \( BC = 4x \).
3. Сумма градусных мер дуг, составляющих окружность, равна \( 360^{\circ} \).
4. Угол \( \angle A \) является вписанным и опирается на дугу \( BC \). Поэтому \( \angle A = \frac{1}{2} \text{дуга } BC = \frac{1}{2} (4x) = 2x \).
5. Угол \( \angle C \) является вписанным и опирается на дугу \( AB \). Поэтому \( \angle C = \frac{1}{2} \text{дуга } AB = \frac{1}{2} (3x) = 1.5x \).
6. По условию \( \angle C : \angle A = 3 : 4 \), что означает \( \frac{\angle C}{\angle A} = \frac{3}{4} \).
7. Подставляем выражения для углов: \( \frac{1.5x}{2x} = \frac{3}{4} \). Это равенство верно.
8. Теперь используем тот факт, что сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \): \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).
9. Угол \( \angle B \) является вписанным и опирается на дугу \( AC \). Поэтому \( \angle B = \frac{1}{2} \text{дуга } AC = \frac{1}{2} (80^{\circ}) = 40^{\circ} \).
10. Подставляем известные значения в сумму углов: \( 2x + 40^{\circ} + 1.5x = 180^{\circ} \).
11. Решаем уравнение относительно \( x \): \( 3.5x = 180^{\circ} - 40^{\circ} \) \( 3.5x = 140^{\circ} \) \( x = \frac{140}{3.5} = 40^{\circ} \).
12. Находим градусные меры дуг:
• Дуга \( AB = 3x = 3 \cdot 40^{\circ} = 120^{\circ} \).
• Дуга \( BC = 4x = 4 \cdot 40^{\circ} = 160^{\circ} \).
• Дуга \( AC = 80^{\circ} \) (дано).
13. Проверяем: \( 120^{\circ} + 160^{\circ} + 80^{\circ} = 360^{\circ} \).

Ответ: дуга АВ = 120°, дуга AC = 80°, дуга BC = 160°.