1. Вершины треугольника лежат на окружности с центром в точке О. Угол АОС равен 80°. <C:<A=3:4. Найдите градусные меры дуг АВ, АС, ВС.

Решение:

1. Найдем градусные меры дуг AC и BC

Нам дано, что угол AOC равен 80°. Так как угол AOC — это центральный угол, то градусная мера дуги AC равна градусной мере этого угла.

$$ \text{Дуга } AC = \text{Угол } AOC = 80^\text{o} $$

Далее, нам дано соотношение углов C и A: $$ \text{Угол } C : \text{Угол } A = 3:4 $$

В треугольнике ABC, вписанном в окружность, сумма углов равна 180°:

$$ \text{Угол } A + \text{Угол } B + \text{Угол } C = 180^\text{o} $$

Угол B, вписанный в окружность, опирается на дугу AC. Следовательно, его градусная мера равна половине градусной меры дуги AC:

$$ \text{Угол } B = \frac{1}{2} \text{Дуга } AC = \frac{1}{2} \times 80^\text{o} = 40^\text{o} $$

Теперь мы можем найти углы A и C:

$$ \text{Угол } A + 40^\text{o} + \text{Угол } C = 180^\text{o} $$

$$ \text{Угол } A + \text{Угол } C = 140^\text{o} $$

Из соотношения $$ \text{Угол } C = \frac{3}{4} \text{Угол } A $$ подставим его в уравнение:

$$ \text{Угол } A + \frac{3}{4} \text{Угол } A = 140^\text{o} $$

$$ \frac{7}{4} \text{Угол } A = 140^\text{o} $$

$$ \text{Угол } A = 140^\text{o} \times \frac{4}{7} = 20^\text{o} \times 4 = 80^\text{o} $$

Теперь найдем угол C:

$$ \text{Угол } C = 180^\text{o} - 40^\text{o} - 80^\text{o} = 60^\text{o} $$

Угол A, вписанный в окружность, опирается на дугу BC. Следовательно, градусная мера дуги BC:

$$ \text{Дуга } BC = 2 \times \text{Угол } A = 2 \times 80^\text{o} = 160^\text{o} $$

Угол C, вписанный в окружность, опирается на дугу AB. Следовательно, градусная мера дуги AB:

$$ \text{Дуга } AB = 2 \times \text{Угол } C = 2 \times 60^\text{o} = 120^\text{o} $$

Проверка: Сумма всех дуг должна быть равна 360°.

$$ \text{Дуга } AB + \text{Дуга } BC + \text{Дуга } AC = 120^\text{o} + 160^\text{o} + 80^\text{o} = 360^\text{o} $$

Ответ:

• Дуга AB = 120°
• Дуга AC = 80°
• Дуга BC = 160°