№1. Висектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 6.

Пусть AB = CD = 6, а AD = BC = x. Поскольку M лежит на BC, луч BM совпадает с лучом BC.

1. BM — биссектриса угла B, поэтому ∠ABM = ∠MBC. Так как AB ∥ CD, BC — секущая, то ∠MBC = ∠BCD. Следовательно, ∠ABM = ∠BCD.
2. DM — биссектриса угла D, поэтому ∠CDM = ∠MDA. Так как AD ∥ BC, DM — секущая, то ∠MDA = ∠DMC. Значит, ∠CDM = ∠DMC, и в треугольнике DMC равны стороны DC и CM. Поэтому CM = DC = 6.
3. Также ∠BMD = ∠MDA (накрест лежащие углы при AD ∥ BC), а ∠MDA = ∠CDM. Значит, в треугольнике BMD равны углы BMD и BDM, поэтому BM = BD. Из равенства ∠ABM = ∠BCD и параллельности AB ∥ CD следует, что ∠ABM = ∠BCM; в треугольнике BMC получаем BM = CM. Следовательно, BM = 6.
4. BC = BM + CM = 6 + 6 = 12. Периметр: P = 2(AB + BC) = 2(6 + 12) = 36.

Ответ: 36.