1. Виталик и шестеро его друзей (все семиклассники) прибежали после олимпиады по математике в буфет и стали в очередь. Сколько существует способов расстановки друзей в этой очереди, если Виталик стоит не позже пятого места в очереди, а Рома (друг Виталика) — точно не первый? В очереди, кроме Виталика и его друзей никого нет.

Решение:

Всего в очереди 7 человек: Виталик и 6 друзей.

Общее количество мест в очереди: 7.

Условия задачи:

1. Виталик стоит не позже 5-го места (т.е. на 5-м, 6-м или 7-м месте).
2. Рома (друг Виталика) стоит не на 1-м месте.

Рассмотрим случаи, когда Виталик занимает 5-е, 6-е или 7-е место.

Случай 1: Виталик на 5-м месте.

• Остается 6 мест для 6 друзей.
• Виталик на 5-м месте.
• Остается 6 человек (6 друзей) и 6 мест (1, 2, 3, 4, 6, 7).
• Рома не первый.
• Рассмотрим позиции для Ромы: 2, 3, 4, 6, 7 (5 вариантов).
• Если Рома на одной из этих 5 позиций, то остается 5 друзей на 5 оставшихся местах. Число перестановок: 5!
• Количество способов в этом случае: 5 * 5! = 5 * 120 = 600.

Случай 2: Виталик на 6-м месте.

• Остается 6 мест для 6 друзей.
• Виталик на 6-м месте.
• Остается 6 человек (6 друзей) и 6 мест (1, 2, 3, 4, 5, 7).
• Рома не первый.
• Рассмотрим позиции для Ромы: 2, 3, 4, 5, 7 (5 вариантов).
• Если Рома на одной из этих 5 позиций, то остается 5 друзей на 5 оставшихся местах. Число перестановок: 5!
• Количество способов в этом случае: 5 * 5! = 5 * 120 = 600.

Случай 3: Виталик на 7-м месте.

• Остается 6 мест для 6 друзей.
• Виталик на 7-м месте.
• Остается 6 человек (6 друзей) и 6 мест (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• Рома не первый.
• Рассмотрим позиции для Ромы: 2, 3, 4, 5, 6 (5 вариантов).
• Если Рома на одной из этих 5 позиций, то остается 5 друзей на 5 оставшихся местах. Число перестановок: 5!
• Количество способов в этом случае: 5 * 5! = 5 * 120 = 600.

Общее количество способов:

Сложим количество способов для каждого случая:

600 (Виталик на 5-м) + 600 (Виталик на 6-м) + 600 (Виталик на 7-м) = 1800.

Альтернативный подход:

Всего 7 человек. Общее число перестановок = 7! = 5040.

Ограничение 1: Виталик не позже 5-го места.

Виталик может быть на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 местах. Условие: Виталик на 5, 6 или 7 месте.

Количество мест для Виталика = 3.

Оставшиеся 6 друзей могут расположиться на 6 оставшихся местах: 6! = 720 способов.

Число перестановок, где Виталик на 5, 6 или 7 месте: 3 * 6! = 3 * 720 = 2160.

Ограничение 2: Рома не первый.

Из 2160 перестановок, нужно вычесть те, где Рома стоит на первом месте.

Случай, когда Рома на 1-м месте (и Виталик на 5, 6, или 7):

Если Рома на 1-м месте, то Виталик может быть на 5, 6 или 7 месте (3 варианта).

Остается 5 друзей на 5 оставшихся местах. Количество перестановок: 5! = 120.

Количество перестановок, где Рома первый И Виталик на 5, 6 или 7 месте: 3 * 5! = 3 * 120 = 360.

Итоговое количество способов:

2160 (Виталик на 5, 6, 7) - 360 (Рома на 1-м, при этом Виталик на 5, 6, 7) = 1800.

Проверка:

Всего 7 человек.

Виталик на 5, 6, 7 местах (3 варианта).

Рома не на 1-м месте.

Если Виталик на 5-м месте:

Места: 1, 2, 3, 4, 6, 7 для 6 друзей.

Рома не 1-й. Варианты для Ромы: 2, 3, 4, 6, 7 (5 вариантов).

Оставшиеся 5 друзей на 5 местах: 5! = 120.

Количество: 5 * 120 = 600.

Если Виталик на 6-м месте:

Места: 1, 2, 3, 4, 5, 7 для 6 друзей.

Рома не 1-й. Варианты для Ромы: 2, 3, 4, 5, 7 (5 вариантов).

Оставшиеся 5 друзей на 5 местах: 5! = 120.

Количество: 5 * 120 = 600.

Если Виталик на 7-м месте:

Места: 1, 2, 3, 4, 5, 6 для 6 друзей.

Рома не 1-й. Варианты для Ромы: 2, 3, 4, 5, 6 (5 вариантов).

Оставшиеся 5 друзей на 5 местах: 5! = 120.

Количество: 5 * 120 = 600.

Всего: 600 + 600 + 600 = 1800.

Ответ: 1800