1. Внутри треугольника ABC взята точка M и построены параллелограммы AMBM₁, BCMМ₂ и CMAM₃. Докажите, что прямые AM₂, BM₃ и CM₁ пересекаются в одной точке.

В условии, вероятно, имеется в виду, что вершины параллелограммов перечислены по порядку: AMBM₁, BCMM₂ и CMAM₃. При таком прочтении утверждение неверно.

Проверим его на примере треугольника с вершинами A(0; 0), B(1; 0), C(0; 1) и внутренней точкой M(1/3; 1/3). По правилу построения параллелограммов получаем:

M₁ = A + B − M = (2/3; −1/3),
M₂ = B + M − C = (4/3; −2/3),
M₃ = C + A − M = (−1/3; 2/3).

Прямая AM₂ имеет уравнение y = −x/2. Прямая BM₃ также имеет уравнение y = −x/2, поэтому AM₂ и BM₃ совпадают. Прямая CM₁ проходит через C(0; 1) и M₁(2/3; −1/3), её уравнение y = 1 − 2x. Точка пересечения первых двух прямых — (0; 0), но она не лежит на CM₁.

Следовательно, три прямые не обязаны пересекаться в одной точке; в задании, вероятно, есть ошибка в обозначении или условии.