1. Вписанный в окружность ω, угол ∠AKВ опирается на дугу АВ и равен 70°. Определите величину ∠OAB, если точка О — центр окружности ω.

Решение:

Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Дуга AB равна \( 2 \cdot \angle AKB \) = \( 2 \cdot 70^{\circ} \) = \( 140^{\circ} \).

Центральный угол \( \angle AOB \) равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, \( \angle AOB = 140^{\circ} \).

Треугольник \( \triangle OAB \) — равнобедренный, так как \( OA = OB \) (радиусы окружности). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \( \angle OAB = \angle OBA \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Следовательно, \( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \).

\( 2 \cdot \angle OAB + 140^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( 2 \cdot \angle OAB = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).

\( \angle OAB = \frac{40^{\circ}}{2} = 20^{\circ} \).

Ответ: 20°.