1. (Всеросс., 2015, МЭ, 7.2) Соедините точки A и B (см. рисунок) ломаной из четырёх отрезков одинаковой длины так, чтобы одновременно выполнялись следующие условия: 1) концами отрезков могут быть только какие-то из отмеченных точек; 2) внутри отрезков не должно быть отмеченных точек; 3) соседние отрезки не должны лежать на одной прямой. (Достаточно привести один пример.)

Обозначим строки и столбцы точек числами от 0 до 4, считая левую верхнюю точку точкой A.

Подойдёт ломаная через точки с координатами:

\(A=(0,0)\rightarrow(2,1)\rightarrow(1,3)\rightarrow(3,2)\rightarrow B=(4,4)\).

Векторы её звеньев: \((2,1)\), \((-1,2)\), \((2,-1)\), \((1,2)\).

Длина каждого звена одинакова:

\[\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.\]

Так как координаты каждого вектора взаимно просты, внутри каждого отрезка нет отмеченных точек. Направления соседних звеньев различны, поэтому соседние отрезки не лежат на одной прямой.

Ответ: A→(2,1)→(1,3)→(3,2)→B.