1. И день и ночь по снеговой пустыне спешу к вам голову сломя. (Наречие "ночь" образовано от существительного "ночь" с помощью суффикса, поэтому пишется слитно. "Голову сломя" - обстоятельственный оборот, который не обособляется, так как является фразеологизмом.)
2. В комнате Елены благодаря плотным занавескам было почти темно. (Производный предлог "благодаря" с последующим существительным "занавескам" в дательном падеже, на месте пропуска пишется "е".)
3. (Не)смотря на румянец, пробивавшийся сквозь загар, его щека был он уже (не)молод. (Деепричастие "несмотря" пишется с "не" раздельно. "Не молод" - краткое прилагательное, поэтому пишется "не" раздельно.)
4. (Не)шевелясь, он весь напружился, готовый сделать прыжок в чащу. (Деепричастие "не шевелясь" пишется с "не" раздельно.)
5. Бледная со слабой (не)доуменной улыбкой на запыленных губах, она с опаской посматривала на тихое небо, по которому переливаясь и клубясь, плыли яркие летние облака. (Прилагательное "недоуменной" пишется с "не" слитно, так как можно заменить синонимом "растерянной". "Переливаясь и клубясь" - однородные деепричастные обороты, обособляются запятой.)
6. Над деревней, занятой красными снарядами, неслись с воем и свистом, заглушая всё, и падали, взлетали вверх развороченные глыбы земли. (Причастный оборот "занятой красными снарядами" обособляется, так как стоит перед определяемым словом "деревней", но имеет дополнительное обстоятельственное значение причины. "Заглушая всё" - обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом. "Развороченные" - причастие.)
7. Алексей вздохнул, прощаясь с затухавшим костром и вновь побрёл по дороге, скрипя палками по обледеневшему снегу, кусая губы и порой теряя сознание. ("Прощаясь", "скрипя", "кусая" - деепричастные обороты, обособляются. "Затухавшим" - причастие. "Обледеневшему" - прилагательное.)
8. Под прозрачной коркой льда журчит ручей и, вторя ему, на лесных обсохших камнях бормочут тетерева (косачи). ("Вторя ему" - обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом. "Обсохших" - причастие.)
9. Андерсен был поэтом бедняков, (не)смотря на то, что короли считали за честь пожать его сухощавую руку. (Деепричастный оборот "не смотря" пишется с "не" раздельно.)
10. Закупками распорядилась сама Катерина Ивановна с помощью одного жильца, который бегал весь вчерашний день и всё утро, сломя голову и высунув язык. (Правильное написание слова "распорядилась". "Сломя голову" - обстоятельственный оборот, не обособляется, так как является фразеологизмом.)
11. Я стал на краю площадки, крепко упершись левой ногой в камень и наклонясь немного вперёд, что бы в случае лёгкой раны (не)опрокинуться в пропасть. ("Вперёд" - наречие. "Что бы" - союз, пишется раздельно. "Лёгкой" - прилагательное. "Не опрокинуться" - глагол с "не" пишется раздельно.)
12. Чёрная речька (вследствие) таяния снега и ледников вышла из берегов и затопила низинные пастбища. ("Чёрная" - прилагательное. "Речька" - существительное. "Вследствие" - производный предлог, пишется слитно. "Низинные" - прилагательное.)
13. А миг спустя мы слышим, как весело и быстро по всем зелёным листьям, по всем железным крышам, по цветникам, скамейкам, по вёдрам и лейкам весёлый дождь стучит. (Однородные обстоятельства места, обособляются запятыми.)
14. Застигнутый кромешной тьмой, ощущая (не)выносимую боль в натруженных ногах, он (не)нашёл в себе силы идти за топливом, забрался в густую поросль молодого сосняка, присел под деревом, весь сжался в комок, спрятал лицо в колени, охваченный руками и обогреваемый своим дыханием, замер, жадно наслаждаясь наступившим покоем и (не)подвижностью. ("Застигнутый" - причастие. "Ощущая" - деепричастие. "Невыносимую" - прилагательное, пишется слитно. "Не нашёл" - глагол, пишется раздельно. "Присел", "сжался" - глаголы с приставкой "при" и "с". "Охваченный", "обогреваемый" - причастия. "Наслаждаясь" - деепричастие. "Неподвижностью" - существительное, пишется слитно.)
15. Это вы куда собрались на ночь, глядя? (Существительное "ночь".)
16. Он откинулся на спинку и долго сидел, молча, (не)обращая на меня (ни)какого внимания. ("Молча" - наречие. "Не обращая" - деепричастие, пишется раздельно. "Никакого" - местоимение, пишется "ни".)
17. Пробираясь к скале, он услышал стрельбу и, обогнав остальных разведчиков, ринулся туда, ломая кусты, как медведь, в смелой и страшной ярости. ("Пробираясь", "обогнав", "ломая" - деепричастные обороты, обособляются.)
18. Боец (пехотинец) громадного роста, с большими черными, как сковороды, руками, запыхавшись, выбился из задних рядов колоны, держа в руке какие-то тяжелые предметы, завёрнутые в замасленный тряпку. ("Черными, как сковороды" - сравнительный оборот. "Запыхавшись" - деепричастие. "Колоны" - существительное. "Завёрнутые" - причастие.)
19. Когда сани замелькали меж деревьев, стволов, бабы оступили их и, огоняя шлепками и подзатыльниками сновавших под ногами ребятишек, так стеной и пошли, окружив сани, охая, плача и причитая. ("Замелькали", "оступили" - глаголы. "Бабы" - существительное. "Огоняя" - деепричастие. "Окружив" - деепричастный оборот. "Охая", "плача", "причитая" - однородные деепричастные обороты.)
20. (Во)преки правилам школы, строжайше запрещавшим пребывание в спальнях днём, он лежал в ботинках на кровати, залив под голову руки, и никто, дежурный по школе, не проходившие командиры, зная о его горе, (не)решались сделать ему замечание. ("Вопреки" - предлог, пишется слитно. "Залив" - деепричастие. "Не проходившие" - причастие, пишется раздельно. "Зная" - деепричастие. "Не решались" - глагол, пишется раздельно.)