Разбор предложений:
- Барыня несколько успокоилась; сперва было отдала приказание немедленно вытребовать его назад в Москву, потом, однако, объявила, что такой неблагодарный человек ей вовсе не нужен. (По И. С. Тургеневу) - Глагол 'отдала' написан верно.
- Кто ему позволил собак у меня на дворе держать? (По И. С. Тургеневу) - Глагол 'позволил' написан верно.
- Осторожно откинув армяк и разостлав солому, поставил он молоко на кровать. (По И. С. Тургеневу) - Глагол 'поставил' написан верно.
- Сперва она всплакнула, потом утёрла слёзы и принелась по-прежнему за работу... (По И. С. Тургеневу) - В глаголе 'всплакнула' перед суффиксом -л- пишется -ну-. Этот глагол имеет суффикс -ну- и в инфинитиве, поэтому написание 'всплакнула' верное. Ошибка в том, что глагол 'принелась' написан с буквой 'е' после шипящей, вместо 'и' (принялась).
Ответ: Сперва она всплакнула, потом утёрла слёзы и принелась по-прежнему за работу... (По И. С. Тургеневу)