1. Выберите из пар чисел (2;-1), (-1;2), (1;1) ту, которая является решением системы \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ {x+2y=3\\ x+4y=5. 2. Решите систему \\ \\ \\ \\ \\ {x+y=12\\ x=5y 3. Постройте график уравнения 4x-2y=6 4. Решите систему уравнений. \\ \\ \\ \\ \\ {\frac{3x-4}{4} - \frac{2y-3}{5} = 1, \\ \\ \\ \frac{2x-y}{2} - 1 = y-2. 5. В санатории зимой отдыхали 1200 мужчин и женщин. Летом число отдыхающих мужчин уменьшилось на 10%, число женщин увеличилось на 20%, а их общее число увеличилась на 75 человек. Сколько мужчин и сколько женщин отдыхали в санатории летом?

1. Решение системы уравнений:

• Проверим каждую пару:
• (2;-1):
• 2 + 2*(-1) = 2 - 2 = 0 ≠ 3
• (-1;2):
• -1 + 2*2 = -1 + 4 = 3
• -1 + 4*2 = -1 + 8 = 7 ≠ 5
• (1;1):
• 1 + 2*1 = 1 + 2 = 3
• 1 + 4*1 = 1 + 4 = 5

Ответ: (1;1)

2. Решение системы:

• У нас есть система:
• \[ \begin{cases} x+y=12 \\ x=5y \end{cases} \]
• Подставим второе уравнение в первое:
• \[ 5y + y = 12 \]
• \[ 6y = 12 \]
• \[ y = 2 \]
• Теперь найдем x:
• \[ x = 5y = 5 * 2 = 10 \]

Ответ: (10;2)

3. График уравнения 4x-2y=6:

Это линейное уравнение. Чтобы построить график, найдем две точки:

• Если x=0, то -2y=6, y=-3. Точка (0;-3).
• Если y=0, то 4x=6, x=1.5. Точка (1.5;0).

График: прямая, проходящая через точки (0;-3) и (1.5;0).

4. Решение системы уравнений:

• Система:
• \[ \begin{cases} \frac{3x-4}{4} - \frac{2y-3}{5} = 1 \\ \frac{2x-y}{2} - 1 = y-2 \end{cases} \]
• Преобразуем первое уравнение:
• \[ \frac{5(3x-4) - 4(2y-3)}{20} = 1 \]
• \[ 15x - 20 - 8y + 12 = 20 \]
• \[ 15x - 8y = 28 \]
• Преобразуем второе уравнение:
• \[ \frac{2x-y}{2} = y - 1 \]
• \[ 2x - y = 2(y-1) \]
• \[ 2x - y = 2y - 2 \]
• \[ 2x - 3y = -2 \]
• Теперь у нас есть система:
• \[ \begin{cases} 15x - 8y = 28 \\ 2x - 3y = -2 \end{cases} \]
• Умножим второе уравнение на 15, а первое на 2:
• \[ \begin{cases} 30x - 16y = 56 \\ 30x - 45y = -30 \end{cases} \]
• Вычтем второе уравнение из первого:
• \[ (30x - 16y) - (30x - 45y) = 56 - (-30) \]
• \[ 29y = 86 \]
• \[ y = \frac{86}{29} \]
• Подставим y во второе уравнение:
• \[ 2x - 3(\frac{86}{29}) = -2 \]
• \[ 2x - \frac{258}{29} = -2 \]
• \[ 2x = -2 + \frac{258}{29} = \frac{-58 + 258}{29} = \frac{200}{29} \]
• \[ x = \frac{100}{29} \]

Ответ: (\(\frac{100}{29}\); \(\frac{86}{29}\))

5. Задача про санаторий:

• Пусть M - количество мужчин, Ж - количество женщин зимой.
• \[ M + Ж = 1200 \]
• Летом число мужчин уменьшилось на 10%, то есть стало 0.9M.
• Летом число женщин увеличилось на 20%, то есть стало 1.2Ж.
• Общее число отдыхающих увеличилось на 75, то есть стало 1200 + 75 = 1275.
• \[ 0.9M + 1.2Ж = 1275 \]
• У нас есть система:
• \[ \begin{cases} M + Ж = 1200 \\ 0.9M + 1.2Ж = 1275 \end{cases} \]
• Из первого уравнения выразим M:
• \[ M = 1200 - Ж \]
• Подставим во второе уравнение:
• \[ 0.9(1200 - Ж) + 1.2Ж = 1275 \]
• \[ 1080 - 0.9Ж + 1.2Ж = 1275 \]
• \[ 0.3Ж = 1275 - 1080 \]
• \[ 0.3Ж = 195 \]
• \[ Ж = \frac{195}{0.3} = 650 \]
• Теперь найдем M:
• \[ M = 1200 - 650 = 550 \]

Ответ: Летом в санатории отдыхали 550 мужчин и 650 женщин.