1. Выберите номер верного утверждения: 1) 2,(5) – натуральное число; 3) 2,5 – иррациональное число; A) 3 Б) 2 2. Вычислите значение выражения: (2√5/3)² A) 1 Б) 2/9 3. Укажите номер уравнения, которое не имеет корней: 1) x²+13=0 3) x²+13x = 0 A) 1 Б) 2 4. Укажите большее из чисел А) x(x+10)=310 6. Известно, что парабола y=ax² проходит через М(2; 16). Найдите число а A) 7 Б) 6 7. Найдите положительный корень уравнения 7x-x²=0. A) 0 Б) 6 8. Найдите наибольшее целое значение х, при котором имеет смысл выражение √15-3х A) 0 Б) 5 9. Решите систему неравенств: (2x-4 ≥ 0 {3-9x ≥ 0 A) [2; ∞) Б) [2;3] 10. Выберите неверное равенство: 1) √25 = 5 3) 7 - √25 = 2 A) 1 Б) 2 11. Найдите дискриминант квадратного уравнения 3x-x²+10 = 0 A) 49 Б) 36 12. Решите неравенство: 3(x+1) ≤ x + 5 13. Сравните 4√3 и √48. A) 4√3 > √48 Б) 4√3 = √48 14. На каком чертеже изображён график функции y = x²? A) 3 Б) 2 15. Упростите выражение 2x²-3x+1 2x-1 А) х-1 Б) 2х-1 17. Представьте число -0,008 в виде квадрата или куба A) (-0,2)² Б) (-0,2)³ 18. Даны выражения: 1) 2) x-1 3) 3x-1 Какие из выражений не имеют смысла при x = 1? А) Только 1 Б) Только 3. 19. Решите уравнение 4x²+7x+3 = 0. A) 1; 0,4 Б) -1;-0,75 20. Моторная лодка прошла 56 км против течения реки и 32 км по течению, затратив на весь путь 3 часа. Скорость течения реки равна 1 км/ч. Обозначив через х км/ч скорость моторной лодки в стоячей воде, составьте уравнение, соответствующее условию задачи для нахождения собственной скорости лодки A) 56/x+1 + 32/x-1 = 3 Б) 56/x-1 + 32/x+1 = 3

Задание 1. Выберите номер верного утверждения

1) 2,(5) – натуральное число; Натуральные числа – это целые положительные числа (1, 2, 3...). Число 2,(5) – это 2 целых и 5 десятых, или 2,5. Оно не является натуральным.

2) √2 – рациональное число; Рациональное число – это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби m/n, где m – целое число, а n – натуральное. √2 – иррациональное число, так как его нельзя представить в виде такой дроби.

3) 2,5 – иррациональное число; Число 2,5 можно представить как 5/2, следовательно, оно является рациональным, а не иррациональным.

4) -107 – целое число Целые числа – это ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Число -107 относится к целым числам.

Ответ: 4

Задание 2. Вычислите значение выражения: (2√5/3)²

Чтобы вычислить значение выражения, возведем в квадрат числитель и знаменатель:

\[ \left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{(2\sqrt{5})^2}{3^2} = \frac{2^2 \cdot (\sqrt{5})^2}{9} = \frac{4 \cdot 5}{9} = \frac{20}{9} \]

Ответ: 20/9

Задание 3. Укажите номер уравнения, которое не имеет корней

Уравнение не имеет корней, если дискриминант отрицательный (для квадратных уравнений) или если возникает противоречие (для других типов уравнений).

1) x²+13=0 \( x^2 = -13 \). Действительных корней нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

2) x²-13=0 \( x^2 = 13 \), \( x = \pm\sqrt{13} \). Два корня.

3) x²+13x = 0 \( x(x+13) = 0 \), \( x=0 \) или \( x=-13 \). Два корня.

4) x²-13x=0 \( x(x-13) = 0 \), \( x=0 \) или \( x=13 \). Два корня.

Ответ: 1

Задание 4. Укажите большее из чисел

Нам нужно сравнить два числа: \( x(x+10)=310 \) и \( x=310 \).

Подставим \( x=310 \) в первое уравнение:

\[ 310(310+10) = 310 × 320 = 99200 \]

Сравниваем \( 99200 \) и \( 310 \). Явно \( 99200 \) больше.

Ответ: А

Задание 5. Укажите большее из чисел

Сначала упростим выражение \( x^2 - 2x - 3 \). Найдем его корни, приравняв к нулю:

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).

Корни: \( x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2+4}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2-4}{2} = -1 \)

Таким образом, \( x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1) \).

Теперь сравним числа \( (x-3)(x+1) \) и \( x \) при \( x=4 \).

\( (4-3)(4+1) = 1 × 5 = 5 \)

Сравниваем \( 5 \) и \( 4 \). \( 5 \) больше.

Ответ: Б

Задание 6. Известно, что парабола y=ax² проходит через М(2; 16). Найдите число а

Чтобы найти коэффициент \( a \), подставим координаты точки \( M(2; 16) \) в уравнение параболы \( y = ax^2 \):

\[ 16 = a × 2^2 \]

\[ 16 = a × 4 \]

Теперь найдем \( a \):

\[ a = \frac{16}{4} = 4 \]

Ответ: 4

Задание 7. Найдите положительный корень уравнения 7x-x²=0.

Приравняем уравнение к нулю и найдем корни:

\[ 7x - x^2 = 0 \]

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(7-x) = 0 \]

Это уравнение имеет два корня:

\[ x = 0 \] или \( 7-x = 0 \) \( ⇒ \) \( x = 7 \).

Положительный корень — это \( x = 7 \).

Ответ: 7

Задание 8. Найдите наибольшее целое значение х, при котором имеет смысл выражение √15-3х

Выражение под корнем квадратным должно быть неотрицательным:

\[ 15 - 3x \geq 0 \]

Решим это неравенство:

\[ 15 \geq 3x \]

\[ \frac{15}{3} \geq x \]

\[ 5 \geq x \]

Это означает, что \( x \) может быть любым числом, меньшим или равным 5. Наибольшее целое значение \( x \) в этом случае равно 5.

Ответ: 5

Задание 9. Решите систему неравенств:

Дана система неравенств:

\[ \begin{cases} 2x - 4 \geq 0 \\ 3 - 9x \geq 0 \end{cases} \]

Решим первое неравенство:

\[ 2x \geq 4 \]

\[ x \geq \frac{4}{2} \]

\[ x \geq 2 \]

Решим второе неравенство:

\[ 3 \geq 9x \]

\[ \frac{3}{9} \geq x \]

\[ \frac{1}{3} \geq x \]

Теперь нам нужно найти значения \( x \), которые удовлетворяют обоим условиям: \( x \geq 2 \) и \( x \leq \frac{1}{3} \).

Нет таких чисел, которые были бы одновременно больше или равны 2 и меньше или равны 1/3. Следовательно, система не имеет решений.

Однако, в вариантах ответов есть пересечение интервалов. Проверим условие еще раз.

Возможно, в условии была допущена ошибка. Предположим, второе неравенство было \( 9x-3 \geq 0 \).

Тогда \( 9x \geq 3 \), \( x \geq \frac{3}{9} \), \( x \geq \frac{1}{3} \).

В этом случае система будет:

\[ \begin{cases} x \geq 2 \\ x \geq \frac{1}{3} \end{cases} \]

Общее решение: \( x \geq 2 \), что соответствует интервалу \( [2; \infty) \).

Если же второе неравенство было \( 3 - 9x \leq 0 \), тогда \( 3 \leq 9x \), \( x \geq \frac{1}{3} \).

Если же второе неравенство было \( 9x - 3 \leq 0 \), тогда \( 9x \leq 3 \), \( x \leq \frac{1}{3} \).

Система \( x \geq 2 \) и \( x \leq \frac{1}{3} \) не имеет решений.

Проверим вариант ответа Б: \( [2; 3] \).

Если \( x \in [2; 3] \), то \( x \geq 2 \) выполняется.

Проверим \( 3 - 9x \geq 0 \) для \( x = 3 \): \( 3 - 9 \times 3 = 3 - 27 = -24 \), что меньше 0. Это противоречит второму неравенству.

Если предположить, что второе неравенство было \( 9x-3 \leq 0 \), то \( x \leq \frac{1}{3} \).

Тогда система \( x \geq 2 \) и \( x \leq \frac{1}{3} \) решений не имеет.

Есть вероятность, что в условии была ошибка. Если предположить, что первое неравенство \( 2x - 4 \leq 0 \), то \( x \leq 2 \).

Система \( x \leq 2 \) и \( x \leq \frac{1}{3} \) дает \( x \leq \frac{1}{3} \).

Если первое неравенство \( 2x - 4 \geq 0 \) (т.е. \( x \geq 2 \)) и второе \( 9x - 3 \leq 0 \) (т.е. \( x \leq \frac{1}{3} \)), то решений нет.

Если первое неравенство \( 2x - 4 \leq 0 \) (т.е. \( x \leq 2 \)) и второе \( 3 - 9x \geq 0 \) (т.е. \( x \leq \frac{1}{3} \)), то \( x \leq \frac{1}{3} \).

Если первое неравенство \( 2x - 4 \leq 0 \) (т.е. \( x \leq 2 \)) и второе \( 9x - 3 \geq 0 \) (т.е. \( x \geq \frac{1}{3} \)), то \( x \in [\frac{1}{3}; 2] \).

Если первое неравенство \( 2x - 4 \geq 0 \) (т.е. \( x \geq 2 \)) и второе \( 3 - 9x \leq 0 \) (т.е. \( x \geq \frac{1}{3} \)), то \( x \geq 2 \).

Если первое неравенство \( 2x - 4 \geq 0 \) (т.е. \( x \geq 2 \)) и второе \( 9x - 3 \leq 0 \) (т.е. \( x \leq \frac{1}{3} \)), то решений нет.

С учетом варианта Б \( [2;3] \), вероятнее всего, первое неравенство \( 2x-4 \geq 0 \) \( ⇒ x \geq 2 \), а второе - \( 9x-3 \leq 0 \) \( ⇒ x \leq 1/3 \). Но тогда решений нет.

Возможно, второе неравенство было \( 3x-9 \leq 0 \), т.е. \( 3x \leq 9 \), \( x \leq 3 \).

В таком случае система:

\[ \begin{cases} x \geq 2 \\ x \leq 3 \end{cases} \]

Решение: \( x \in [2; 3] \).

Ответ: Б

Задание 10. Выберите неверное равенство:

1) √25 = 5 Верно, так как 5² = 25.

2) √0,9 = 0,3 Неверно. \( 0,3^2 = 0,09 \), а \( \sqrt{0,9} \) будет больше 0,3.

3) 7 - √25 = 2 Верно, так как \( \sqrt{25} = 5 \), и \( 7 - 5 = 2 \).

4) (-13)² = 13 Неверно. \( (-13)^2 = 169 \).

Два неверных равенства: 2 и 4. Поскольку в вариантах ответов есть только один выбор, и обычно в таких заданиях ищут одно неверное равенство, вероятно, допустима опечатка в пункте 4, и там должно быть \( (-√13)^2=13 \) или \( √169=13 \). Если же рассматривать как есть, то пункты 2 и 4 неверны.

Однако, если рассмотреть вариант 4 как \( \sqrt{(-13)^2}=13 \), то он будет верен. Но в задании стоит \( (-13)^2 \).

Пункты 2 и 4 являются неверными.

Примем, что требуется выбрать только одно неверное равенство, и в пункте 4 опечатка. Тогда выберем пункт 2.

Ответ: 2

Задание 11. Найдите дискриминант квадратного уравнения 3x-x²+10 = 0

Сначала приведем уравнение к стандартному виду \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ -x^2 + 3x + 10 = 0 \]

Здесь \( a = -1 \), \( b = 3 \), \( c = 10 \).

Дискриминант вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 3^2 - 4(-1)(10) \]

\[ D = 9 - (-40) \]

\[ D = 9 + 40 = 49 \]

Ответ: 49

Задание 12. Решите неравенство: 3(x+1) ≤ x + 5

Раскроем скобки:

\[ 3x + 3 \leq x + 5 \]

Перенесем члены с \( x \) в левую часть, а числа – в правую:

\[ 3x - x \leq 5 - 3 \]

\[ 2x \leq 2 \]

Разделим обе части на 2:

\[ x \leq 1 \]

Ответ: \( x \leq 1 \)

Задание 13. Сравните 4√3 и √48.

Чтобы сравнить эти два числа, возведем оба в квадрат:

\( (4\sqrt{3})^2 = 4^2 \times (\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48 \)

\( (\sqrt{48})^2 = 48 \)

Так как \( (4\sqrt{3})^2 = (\sqrt{48})^2 \), то \( 4\sqrt{3} = \sqrt{48} \).

Ответ: Б

Задание 14. На каком чертеже изображён график функции y = x²?

График функции \( y = x^2 \) – это парабола с вершиной в начале координат, ветвями, направленными вверх. На чертеже 2 изображена именно такая парабола.

Ответ: 2

Задание 15. Упростите выражение

Дано выражение:

\[ \frac{2x^2-3x+1}{2x-1} \]

Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного трехчлена \( 2x^2-3x+1=0 \).

Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1 \).

Корни: \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \times 2} = \frac{3+1}{4} = 1 \)

\( x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \times 2} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \)

Значит, \( 2x^2-3x+1 = 2(x-1)(x-0.5) = (x-1)(2x-1) \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{(x-1)(2x-1)}{2x-1} \]

Сокращаем \( (2x-1) \) (при условии \( 2x-1
eq 0 \), то есть \( x
eq 0.5 \)):

\[ x-1 \]

Ответ: х-1

Задание 16. Уравнение, сводящееся к квадратному

Уравнение, которое можно привести к квадратному виду, называется уравнением, сводящимся к квадратному.

Ответ: В

Задание 17. Представьте число -0,008 в виде квадрата или куба

Число \( -0,008 \) можно представить в виде куба:

\[ (-0,2)^3 = (-0,2) \times (-0,2) \times (-0,2) = 0,04 \times (-0,2) = -0,008 \]

Ответ: Б

Задание 18. Даны выражения:

1) \( \frac{9}{x} \)

2) \( \frac{x-1}{x} \)

3) \( \frac{3x-1}{x-1} \)

4) \( 12-x \)

Выражения не имеют смысла, если знаменатель равен нулю.

1) \( x
eq 0 \)

2) \( x
eq 0 \)

3) \( x-1
eq 0 \) \( ⇒ x
eq 1 \)

4) Это выражение имеет смысл при любом \( x \).

Выражения не имеют смысла при \( x=1 \) только в пункте 3.

Ответ: 3

Задание 19. Решите уравнение 4x²+7x+3 = 0.

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(4)(3) = 49 - 48 = 1 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2(4)} = \frac{-7 + 1}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} = -0.75 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2(4)} = \frac{-7 - 1}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]

Ответ: Б

Задание 20. Моторная лодка прошла 56 км против течения реки и 32 км по течению, затратив на весь путь 3 часа. Скорость течения реки равна 1 км/ч. Обозначив через х км/ч скорость моторной лодки в стоячей воде, составьте уравнение, соответствующее условию задачи для нахождения собственной скорости лодки

Скорость лодки против течения: \( x - 1 \) км/ч.

Скорость лодки по течению: \( x + 1 \) км/ч.

Время, затраченное на путь против течения: \( t_{против} = \frac{S_{против}}{v_{против}} = \frac{56}{x-1} \) часа.

Время, затраченное на путь по течению: \( t_{по} = \frac{S_{по}}{v_{по}} = \frac{32}{x+1} \) часа.

Общее время в пути равно 3 часа:

\[ t_{против} + t_{по} = 3 \]

\[ \frac{56}{x-1} + \frac{32}{x+1} = 3 \]

Ответ: А