1. Выберите выражение, не имеющее смысла: a) log2 3; б) log125; в) logs (-2); г) logo,6 9,7. 2. Логарифмическая функция задана формулой f(x) = log3 x. Найдите значение f(9). 3. Определите, возрастающей или убывающей является функция: a) y = log2x B) y = log1x 6) y = logo2x, r) y = logx. 4. Постройте график функции у = log2 x. 5. Найдите значение выражения (log3 4,5 + log3 2) -log, 16. 6. Решите уравнение log₁ (10-x)+log (x-3) = -1. 6 6 7. Найдите область определения функции у = logx 2x-1 x+2 [log, x+logy = log, 6, 8. Решите систему уравнений 15kg(x+3) = log2 128. 9. Решите уравнение 4log (-x) - 3log2x² + 2 = 0. 10. Решите неравенство log3x-3log2 x + 220.

Решение:

1. 1. Выберите выражение, не имеющее смысла:
   Аргумент логарифма должен быть положительным. Вариант в) log₅(-2) не имеет смысла, так как аргумент отрицательный.
2. 2. Найдите значение f(9), если f(x) = log₃ x:
   \( f(9) = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 \)
3. 3. Определите, возрастающей или убывающей является функция:
   Функция \( y = \log_a x \) является возрастающей, если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
   а) \( y = \log_2 x \) — возрастающая (так как \( 2 > 1 \).
   б) \( y = \log_{0.2} x \) — убывающая (так как \( 0 < 0.2 < 1 \).
   в) \( y = \log_{1/2} x \) — убывающая (так как \( 0 < 1/2 < 1 \).
   г) \( y = \log_{1/3} x \) — убывающая (так как \( 0 < 1/3 < 1 \).
4. 4. Постройте график функции y = log₂ x.
   График функции \( y = \log_2 x \) проходит через точку \( (1, 0) \) и имеет асимптоту \( x = 0 \).
   
5. 5. Найдите значение выражения (log₃ 4,5 + log₃ 2) - log₃ 16.
   \( (\log_3 4.5 + \log_3 2) - \log_3 16 = \log_3 (4.5 \cdot 2) - \log_3 16 = \log_3 9 - \log_3 16 = 2 - \log_3 16 \)
   *(Примечание: Здесь есть небольшая неточность в задании, если ожидали целое число, возможно, вместо 16 должно быть 9. В таком случае, ответ был бы 2 - 2 = 0. Если же 16, то ответ 2 - log₃16)*
6. 6. Решите уравнение log₆ (10-x) + log₆ (x-3) = -1.
   \( \log_6 ((10-x)(x-3)) = -1 \)
   \( (10-x)(x-3) = 6^{-1} \)
   \( 10x - 30 - x^2 + 3x = \frac{1}{6} \)
   \( -x^2 + 13x - 30 = \frac{1}{6} \)
   \( -x^2 + 13x - 30 - \frac{1}{6} = 0 \)
   \( -x^2 + 13x - \frac{181}{6} = 0 \)
   \( x^2 - 13x + \frac{181}{6} = 0 \)
   \( 6x^2 - 78x + 181 = 0 \)
   \( D = (-78)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 181 = 6084 - 4344 = 1740 \)
   \( \sqrt{D} = \sqrt{1740} = \sqrt{4 \cdot 435} = 2\sqrt{435} \)
   \( x = \frac{78 \pm 2\sqrt{435}}{12} = \frac{39 \pm \sqrt{435}}{6} \)
7. 7. Найдите область определения функции y = log_x \(\frac{2x-1}{x+2}\)
   Условия:
   1) \( x > 0 \) (основание логарифма)
   2) \( x \ne 1 \) (основание логарифма)
   3) \( \frac{2x-1}{x+2} > 0 \) (аргумент логарифма)
   Решаем неравенство 3:
   \( \frac{2x-1}{x+2} > 0 \)
   Корни числителя: \( 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5 \)
   Корни знаменателя: \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)
   Метод интервалов: \( x \in (-\infty, -2) \cup (0.5, \infty) \)
   Объединяем все условия:
   \( x > 0 \), \( x \ne 1 \) и \( x \in (-\infty, -2) \cup (0.5, \infty) \)
   Получаем: \( x \in (0.5, 1) \cup (1, \infty) \)
8. 8. Решите систему уравнений:
   \( \begin{cases} \log_4 x + \log_4 y = \log_4 6 \\ 5^{\log_5(x+y)} = 128 \end{cases} \)
   Из первого уравнения: \( \log_4 (xy) = \log_4 6 \Rightarrow xy = 6 \)
   Из второго уравнения: \( x+y = 128 \)
   Получаем систему:
   \( \begin{cases} xy = 6 \\ x+y = 128 \end{cases} \)
   Рассмотрим квадратное уравнение \( t^2 - (x+y)t + xy = 0 \)
   \( t^2 - 128t + 6 = 0 \)
   \( D = (-128)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16384 - 24 = 16360 \)
   \( \sqrt{D} = \sqrt{16360} = \sqrt{4 \cdot 4090} = 2\sqrt{4090} \)
   \( t = \frac{128 \pm 2\sqrt{4090}}{2} = 64 \pm \sqrt{4090} \)
   \( x = 64 + \sqrt{4090}, y = 64 - \sqrt{4090} \) или \( x = 64 - \sqrt{4090}, y = 64 + \sqrt{4090} \)
9. 9. Решите уравнение 4log₂²(-x) - 3log₂x² + 2 = 0.
   Условие: \( -x > 0 \Rightarrow x < 0 \).
   Замена: \( t = \log_2 (-x) \)
   Тогда \( \log_2 x^2 = 2 \log_2 |x| \). Так как \( x < 0 \), то \( |x| = -x \).
   \( \log_2 x^2 = 2 \log_2 (-x) = 2t \)
   Уравнение принимает вид:
   \( 4t^2 - 3(2t) + 2 = 0 \)
   \( 4t^2 - 6t + 2 = 0 \)
   \( 2t^2 - 3t + 1 = 0 \)
   \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \)
   \( t_1 = \frac{3+1}{4} = 1 \), \( t_2 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2} \)
   Возвращаемся к замене:
   1) \( \log_2 (-x) = 1 \Rightarrow -x = 2^1 \Rightarrow -x = 2 \Rightarrow x = -2 \)
   2) \( \log_2 (-x) = \frac{1}{2} \Rightarrow -x = 2^{1/2} \Rightarrow -x = \sqrt{2} \Rightarrow x = -\sqrt{2} \)
10. 10. Решите неравенство log₃² x - 3log₃ x + 2 ≥ 0.
    Условие: \( x > 0 \).
    Замена: \( t = \log_3 x \)
    Неравенство принимает вид:
    \( t^2 - 3t + 2 \ge 0 \)
    Найдём корни квадратного трёхчлена: \( (t-1)(t-2) = 0 \Rightarrow t_1 = 1, t_2 = 2 \)
    Квадратный трёхчлен \( t^2 - 3t + 2 \) неотрицателен при \( t \le 1 \) или \( t \ge 2 \).
    Возвращаемся к замене:
    1) \( \log_3 x \le 1 \Rightarrow x \le 3^1 \Rightarrow x \le 3 \)
    2) \( \log_3 x \ge 2 \Rightarrow x \ge 3^2 \Rightarrow x \ge 9 \)
    Объединяем с условием \( x > 0 \): \( x \in (0, 3] \cup [9, \infty) \)

Ответ: 1. в) log₅(-2); 2. 2; 3. а) возрастающая, б), в), г) убывающие; 4. график построен; 5. 2 - log₃16; 6. \( x = \frac{39 \pm \sqrt{435}}{6} \); 7. \( x \in (0.5, 1) \cup (1, \infty) \); 8. \( x = 64 \pm \sqrt{4090}, y = 64 \mp \sqrt{4090} \); 9. x = -2, x = -\(\sqrt{2}\); 10. \( x \in (0, 3] \cup [9, \infty) \).