1 Вычислить а) 1 11 7 11 4 + 2,37 6) 6-5-63 +49 64 2 Вычислить производную у=5x4-12x3+10x²-59x-12 3 Вычислить определенный интеграл: 123(36x2 - 4x + 40)dx Задание 4 Дана правильная четырехугольная пирамида. Её высота равна 12. Сторона основания равна 4. Сделать чертеж с необходимыми обозначениями. Вычислить объем пирамиды. Дан цилиндр. Его радиус равен 9, образующая равна 6. Сделать Задание 5 чертеж с необходимыми обозначениями. Вычислить полную поверхность цилиндра. Задание 6 В ящике 10 голубых и 7 красных шаров. Из ящика наугад вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что эти шары разного цвета (два голубых и два красных шара)? Задание 7 Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения: X8 10 12 14 16 P 0,05 0,1 0,2 0,35 0,3 Найти числовые характеристики: M(X), D(X), σ(Х), построить многоугольник распределения

Задание 1. Вычисления

а) Вычислить:

1. Первое слагаемое: \( 1 \frac{7}{11} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1 x 11 + 7}{11} \cdot \frac{1}{4} = \frac{18}{11} \cdot \frac{1}{4} = \frac{18}{44} = \frac{9}{22} \)
2. Второе слагаемое: \( 2,37 \)
3. Сумма: \( \frac{9}{22} + 2,37 \)

Для сложения приведем \( \frac{9}{22} \) к десятичной дроби или \( 2,37 \) к обыкновенной. \( \frac{9}{22} \approx 0,409 \).

\( 0,409 + 2,37 = 2,779 \)

Ответ: а) \( \approx 2,779 \)

б) Вычислить:

\( \frac{6^{-5 x} 6^{3}}{6^{4}} + 49 \)

1. Степень в числителе: \( 6^{-5} \cdot 6^{3} = 6^{-5+3} = 6^{-2} \)
2. Дробь: \( \frac{6^{-2}}{6^{4}} = 6^{-2-4} = 6^{-6} \)
3. Выражение: \( 6^{-6} + 49 = \frac{1}{6^6} + 49 \)

\( 6^6 = 46656 \)

\( \frac{1}{46656} + 49 \approx 0,00002 + 49 = 49,00002 \)

Ответ: б) \( 49 \frac{1}{46656} \)

Задание 2. Производная

Чтобы вычислить производную функции \( y = 5x^4 - 12x^3 + 10x^2 - 59x - 12 \), нужно продифференцировать каждый член:

• Производная \( 5x^4 \) равна \( 5 \cdot 4x^{4-1} = 20x^3 \)
• Производная \( -12x^3 \) равна \( -12 \cdot 3x^{3-1} = -36x^2 \)
• Производная \( 10x^2 \) равна \( 10 \cdot 2x^{2-1} = 20x \)
• Производная \( -59x \) равна \( -59 \cdot 1x^{1-1} = -59 \)
• Производная константы \( -12 \) равна \( 0 \)

Сложив все производные, получим:

\[ y' = 20x^3 - 36x^2 + 20x - 59 \]

Ответ: \( y' = 20x^3 - 36x^2 + 20x - 59 \)

Задание 3. Определенный интеграл

Нужно вычислить интеграл \( \int_{-3}^{2} (36x^2 - 4x + 40)dx \). Сначала найдем первообразную:

\[ F(x) = \int (36x^2 - 4x + 40)dx = 36 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 40x = 12x^3 - 2x^2 + 40x \]

Теперь вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

\[ F(2) = 12(2)^3 - 2(2)^2 + 40(2) = 12 \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 80 = 96 - 8 + 80 = 168 \]

\[ F(-3) = 12(-3)^3 - 2(-3)^2 + 40(-3) = 12 \cdot (-27) - 2 \cdot 9 - 120 = -324 - 18 - 120 = -462 \]

Вычислим определенный интеграл:

\[ \int_{-3}^{2} (36x^2 - 4x + 40)dx = F(2) - F(-3) = 168 - (-462) = 168 + 462 = 630 \]

Ответ: \( 630 \)

Задание 4. Объем пирамиды

Дано:

• Правильная четырехугольная пирамида.
• Высота \( H = 12 \).
• Сторона основания \( a = 4 \).

Найти: Объем пирамиды \( V \).

Решение:

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды вычисляется как квадрат стороны основания:

\[ S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16 \]

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \]

Подставим известные значения:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 12 = 16 \cdot 4 = 64 \]

Ответ: Объем пирамиды равен 64.

Задание 5. Полная поверхность цилиндра

Дано:

• Цилиндр.
• Радиус основания \( r = 9 \).
• Образующая \( l = 6 \).

Найти: Полную поверхность цилиндра \( S_{полн} \).

Решение:

Площадь основания цилиндра:

\[ S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 9^2 = 81 \pi \]

Площадь боковой поверхности цилиндра:

\[ S_{бок} = 2 \pi r l = 2 \pi \cdot 9 \cdot 6 = 108 \pi \]

Полная поверхность цилиндра равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:

\[ S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 81 \pi + 108 \pi = 162 \pi + 108 \pi = 270 \pi \]

Ответ: Полная поверхность цилиндра равна \( 270 \pi \).

Задание 6. Вероятность

Дано:

• Всего шаров: 10 голубых + 7 красных = 17 шаров.
• Вынимают 4 шара.

Найти: Вероятность того, что будут два голубых и два красных шара.

Решение:

Общее число способов выбрать 4 шара из 17:

\[ C_{17}^4 = \frac{17!}{4!(17-4)!} = \frac{17!}{4!13!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 17 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7 = 2380 \]

Число способов выбрать 2 голубых шара из 10:

\[ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 \]

Число способов выбрать 2 красных шара из 7:

\[ C_{7}^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \]

Число способов выбрать 2 голубых и 2 красных шара:

\[ N = C_{10}^2 \cdot C_{7}^2 = 45 \cdot 21 = 945 \]

Вероятность события:

\[ P = \frac{N}{C_{17}^4} = \frac{945}{2380} = \frac{189}{476} \]

Ответ: Вероятность равна \( \frac{189}{476} \)

Задание 7. Характеристики случайной величины

Дано: Закон распределения случайной величины X:

Найти: M(X), D(X), \( \sigma(X) \), построить многоугольник распределения.

1. Математическое ожидание M(X):

\[ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \]

\[ M(X) = (8 \cdot 0,05) + (10 \cdot 0,1) + (12 \cdot 0,2) + (14 \cdot 0,35) + (16 \cdot 0,3) \]

\[ M(X) = 0,4 + 1 + 2,4 + 4,9 + 4,8 = 13,5 \]

2. Дисперсия D(X):

\[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \]

Сначала найдем \( M(X^2) \):

\[ M(X^2) = (8^2 \cdot 0,05) + (10^2 \cdot 0,1) + (12^2 \cdot 0,2) + (14^2 \cdot 0,35) + (16^2 \cdot 0,3) \]

\[ M(X^2) = (64 \cdot 0,05) + (100 \cdot 0,1) + (144 \cdot 0,2) + (196 \cdot 0,35) + (256 \cdot 0,3) \]

\[ M(X^2) = 3,2 + 10 + 28,8 + 68,6 + 76,8 = 187,4 \]

Теперь вычислим дисперсию:

\[ D(X) = 187,4 - (13,5)^2 = 187,4 - 182,25 = 5,15 \]

3. Среднеквадратическое отклонение \( \sigma(X) \):

\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{5,15} \approx 2,27 \]

4. Многоугольник распределения:

Ответ: M(X) = 13,5; D(X) = 5,15; \( \sigma(X) \approx 2,27 \).