1. Вычислите: 1. 2 arccos⁰½ + 3 arcsin (⁰−⁰√2⁰/⁰2) 2. sin (4 arccos (⁰−½) - 2 arctg ⁰√3/⁰3 )

Решение:

1. Вычисление первого выражения:

Сначала найдем значения арккосинуса и арксинуса:

• \[ \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \]
• \[ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} \]

Теперь подставим эти значения в выражение:

• \[ 2 \cdot \frac{\pi}{3} + 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} \]
• Приведем к общему знаменателю 12:
• \[ \frac{2\pi × 4}{3 × 4} - \frac{3\pi × 3}{4 × 3} = \frac{8\pi}{12} - \frac{9\pi}{12} = -\frac{\pi}{12} \]

2. Вычисление второго выражения:

Найдем значения арккосинуса и арктангенса:

• \[ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} \]
• \[ \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6} \]

Подставим значения в выражение:

• \[ \sin\left(4 \cdot \frac{2\pi}{3} - 2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{8\pi}{3} - \frac{2\pi}{6}\right) \]
• \[ = \sin\left(\frac{8\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{3}\right) \]
• Так как синус периодичен с периодом 2π, то π·⁰7/3 = 2π + π/3, то есть:
• \[ \sin\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Ответ:

1. \[ -\frac{\pi}{12} \]
2. \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \]