1. Вычислите: 1) $\log_a a,\ \log_a 1,\ \log_a a^5,\ \log_a\frac1a,\ \log_a\sqrt a,\ \log_a\sqrt[5]{a^3}$; 2) $\log_{1/2}\frac14,\ \log_{1/2}2,\ \log_{1/2}1,\ \log_{1/2}8,\ \log_{1/2}\sqrt2,\ \log_{1/2}\frac{\sqrt2}{2}$; 3) $\log_3 27,\ \log_3\frac19,\ \log_9\frac1{27},\ \log_2\sqrt2,\ \log_2\frac1{\sqrt2},\ \log_{\sqrt2}4,$ [следующее выражение обрезано].

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Вычислите: 1) $\log_a a,\ \log_a 1,\ \log_a a^5,\ \log_a\frac1a,\ \log_a\sqrt a,\ \log_a\sqrt[5]{a^3}$; 2)…$ Фото задания

1. Вычислите: 1) $\log_a a,\ \log_a 1,\ \log_a a^5,\ \log_a\frac1a,\ \log_a\sqrt a,\ \log_a\sqrt[5]{a^3}$; 2) $\log_{1/2}\frac14,\ \log_{1/2}2,\ \log_{1/2}1,\ \log_{1/2}8,\ \log_{1/2}\sqrt2,\ \log_{1/2}\frac{\sqrt2}{2}$; 3) $\log_3 27,\ \log_3\frac19,\ \log_9\frac1{27},\ \log_2\sqrt2,\ \log_2\frac1{\sqrt2},\ \log_{\sqrt2}4,$ [следующее выражение обрезано].

Accepted Answer

Используем определение логарифма: если основание возведено в степень, получаем эту степень. В пункте 1 предполагается, что $a>0$ и $a\ne1$.

1) $\log_a a=1$; $\log_a1=0$, поскольку $a^0=1$; $\log_a a^5=5$; $\log_a\frac1a=\log_a a^{-1}=-1$; $\log_a\sqrt a=\log_a a^{1/2}=\frac12$; $\log_a\sqrt[5]{a^3}=\log_a a^{3/5}=\frac35$.

2) Представим числа как степени основания $\frac12$: $\frac14=(\frac12)^2$, $2=(\frac12)^{-1}$, $1=(\frac12)^0$, $8=(\frac12)^{-3}$, $\sqrt2=(\frac12)^{-1/2}$, $\frac{\sqrt2}{2}=(\frac12)^{1/2}$. Поэтому ответы по порядку: $2,\ -1,\ 0,\ -3,\ -\frac12,\ \frac12$.

3) $27=3^3$, поэтому $\log_3 27=3$; $\frac19=3^{-2}$, поэтому $\log_3\frac19=-2$; $9=3^2$ и $\frac1{27}=3^{-3}$, поэтому $\log_9\frac1{27}=-\frac32$. Далее: $\sqrt2=2^{1/2}$, откуда $\log_2\sqrt2=\frac12$; $\frac1{\sqrt2}=2^{-1/2}$, откуда $\log_2\frac1{\sqrt2}=-\frac12$; так как $(\sqrt2)^4=4$, то $\log_{\sqrt2}4=4$.

Последнее выражение пункта 3 на фотографии обрезано, поэтому вычислить его нельзя. Чтобы решить этот подпункт, пришлите его целиком.

Ответ: 1) $1,\ 0,\ 5,\ -1,\ \frac12,\ \frac35$; 2) $2,\ -1,\ 0,\ -3,\ -\frac12,\ \frac12$; 3) $3,\ -2,\ -\frac32,\ \frac12,\ -\frac12,\ 4$; последнее выражение обрезано.