1. Вычислите: 1) sin 2° cos 28° + sin 28° cos 2°; 2) cos73° cos 13° + sin 73° sin 13°; 3) sin 50° sin 5° + cos 50° cos 5°; 4) cos(3π/8)sin(5π/24) - cos(5π/24)sin(3π/8); 5) cos 100° sin 10° - sin 100°cos 10°; 6) cos 170° sin 35° - cos 35° sin 170°; 7) cos²(π/8) + sin(π/8)cos(3π/8); 8) sin 105° sin 75° + sin 15° cos 105°; 9) cos 20° cos 25° - cos 70° sin 25°; 10) cos 43°cos17° - cos 47° cos(-73°).

Решение:

Будем использовать формулы синуса и косинуса суммы и разности углов:

• \( \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \)
• \( \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \)

1. \( \sin 2° \cos 28° + \sin 28° \cos 2° = \sin(2° + 28°) = \sin 30° = \frac{1}{2} \)
2. \( \cos 73° \cos 13° + \sin 73° \sin 13° = \cos(73° - 13°) = \cos 60° = \frac{1}{2} \)
3. \( \sin 50° \sin 5° + \cos 50° \cos 5° = \cos(50° - 5°) = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
4. \( \cos\frac{3\pi}{8}\sin\frac{5\pi}{24} - \cos\frac{5\pi}{24}\sin\frac{3\pi}{8} = \sin(\frac{5\pi}{24} - \frac{3\pi}{8}) = \sin(\frac{5\pi}{24} - \frac{9\pi}{24}) = \sin(-\frac{4\pi}{24}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \)
5. \( \cos 100° \sin 10° - \sin 100° \cos 10° = -(\sin 100° \cos 10° - \cos 100° \sin 10°) = -\sin(100° - 10°) = -\sin 90° = -1 \)
6. \( \cos 170° \sin 35° - \cos 35° \sin 170° = -(\sin 170° \cos 35° - \cos 170° \sin 35°) = -\sin(170° - 35°) = -\sin 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
7. \( \cos^2\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8} \)

Используем формулу \( \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)] \)

\( \sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8} = \frac{1}{2}[\cos(\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}) + \cos(\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8})] = \frac{1}{2}[\cos(-\frac{2\pi}{8}) + \cos(\frac{4\pi}{8})] = \frac{1}{2}[\cos(-\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{2})] = \frac{1}{2}[\frac{\sqrt{2}}{2} + 0] = \frac{\sqrt{2}}{4} \)

Теперь нужно найти \( \cos^2\frac{\pi}{8} \). Используем формулу \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \).

\( \cos^2\frac{\pi}{8} = \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8})}{2} = \frac{1 + \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \)

Складываем оба выражения:

\( \frac{2 + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{4} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \)

8. \( \sin 105° \sin 75° + \sin 15° \cos 105° \)

Заметим, что \( \sin 75° = \cos 15° \) и \( \cos 105° = \cos(90° + 15°) = -\sin 15° \).

\( \sin 105° \cos 15° + \sin 15° (-\sin 15°) = \sin 105° \cos 15° - \sin^2 15° \)

Также \( \sin 105° = \sin(90° + 15°) = \cos 15° \).

\( \cos^2 15° - \sin^2 15° = \cos(2 \cdot 15°) = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

9. \( \cos 20° \cos 25° - \cos 70° \sin 25° \)

Заметим, что \( \cos 70° = \sin 20° \).

\( \cos 20° \cos 25° - \sin 20° \sin 25° = \cos(20° + 25°) = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

10. \( \cos 43° \cos 17° - \cos 47° \cos(-73°) \)

Заметим, что \( \cos 47° = \sin 43° \) и \( \cos(-73°) = \cos 73° \).

\( \cos 43° \cos 17° - \sin 43° \cos 73° \)

Используем формулу \( \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)] \) и \( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] \).

\( \frac{1}{2}[\cos(43°-17°) + \cos(43°+17°)] - \frac{1}{2}[\sin(43°+73°) + \sin(43°-73°)] \)

\( = \frac{1}{2}[\cos 26° + \cos 60°] - \frac{1}{2}[\sin 116° + \sin (-30°)] \)

\( = \frac{1}{2}[\cos 26° + \frac{1}{2}] - \frac{1}{2}[\sin(180°-64°) - \frac{1}{2}] \)

\( = \frac{1}{2}[\cos 26° + \frac{1}{2}] - \frac{1}{2}[\sin 64° - \frac{1}{2}] \)

\( = \frac{1}{2}\cos 26° + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin 64° + \frac{1}{4} \)

Заметим, что \( \sin 64° = \cos(90°-64°) = \cos 26° \).

\( = \frac{1}{2}\cos 26° + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 26° = \frac{1}{2} \)

Ответ: 1) 1/2; 2) 1/2; 3) √2/2; 4) -1/2; 5) -1; 6) -√2/2; 7) (1+√2)/2; 8) √3/2; 9) √2/2; 10) 1/2.