1. Вычислите 1000-998-996-994-992-900+...+2-1

Решение:

Заметим, что в выражении есть закономерность. Разность между соседними числами в начале ряда равна 2:

\(1000 - 998 = 2\)

\(998 - 996 = 2\)

\(996 - 994 = 2\)

\(994 - 992 = 2\)

Далее идут многоточия, и в конце ряда есть \(+2-1\).

Предположим, что ряд продолжается с тем же шагом.

Можно переписать выражение следующим образом:

\( (1000 - 998) + (996 - 994) + (992 - 990) + ... + (4 - 2) + 2 - 1 \)

Каждая пара в скобках равна 2.

Сколько таких пар? Последнее число перед \(+2-1\) — это 900. Перед ним было 902 (если шаг 2).

Ряд начинается с 1000 и заканчивается 2. Всего в ряду \( (1000 - 2) / 2 + 1 = 998 / 2 + 1 = 499 + 1 = 500 \) чисел.

Если мы группируем по парам, то число пар будет \( (1000 - 2) / 4 = 998 / 4 \), что не целое число. Значит, группировка не такая.

Рассмотрим исходное выражение: \( 1000 - 998 - 996 - 994 - 992 - 900 + ... + 2 - 1 \)

Можно заметить, что вычитаются числа, уменьшающиеся на 2, а потом начинается сложение.

Давайте предположим, что последовательность выглядит так: \( 1000, 998, 996, ..., 2 \). Тогда все вычитания дадут:

\(1000 - (998 + 996 + ... + 2)\)

Сумма арифметической прогрессии \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \).

\(n = 500\) (как посчитали выше)

\( S_{500} = \frac{500}{2}(998 + 2) = 250 \cdot 1000 = 250000 \)

Тогда \( 1000 - 250000 \) — это отрицательное число.

Возможно, имелось в виду:

\( (1000 - 998) + (996 - 994) + (992 - 990) + ... + (4 - 2) + 1 \) или \( 1000 + (-998) + (-996) + ... \)

Если трактовать \(...\) как продолжение закономерности \( -990, -988, ..., -2 \) и затем \( +2-1 \), то:

\( (1000 - 998) + (996 - 994) + (992 - 990) + ... + (4 - 2) \) плюс \( -1 \) (или \( +2-1 \)).

Ряд вычитаемых: 998, 996, ..., 2. Всего \( (998 - 2) / 2 + 1 = 996 / 2 + 1 = 498 + 1 = 499 \) чисел.

Если вычитать эти 499 чисел из 1000, получим:

\( 1000 - \sum_{k=1}^{499} (1000 - 2k) \)

Это сложно.

Рассмотрим упрощенную версию, где \( ... \) означает продолжение вычитания с шагом 2, до некоторого момента, а затем сложение.

Если предположить, что ряд заканчивается на \( -2 \), а затем \( +2-1 \):

\( (1000 - 998) + (996 - 994) + (992 - 990) + ... + (4 - 2) + 2 - 1 \)

Разность в каждой паре равна 2. Сколько таких пар? От 1000 до 2, с шагом 2. Всего 500 чисел. Если взять их попарно (1000-998), (996-994), ..., (4-2), то пар будет \( 500 / 2 = 250 \). Нет, это неверно.

От 1000 до 4, с шагом 4, мы получаем числа, которые вычитаются. \( 1000, 996, 992, ..., 4 \). Количество таких чисел \( (1000 - 4) / 4 + 1 = 996 / 4 + 1 = 249 + 1 = 250 \).

Тогда выражение можно представить как:

\( 1000 - 998 \) (это 2)

\( + (996 - 994) \) (это 2)

\( + (992 - 990) \) (это 2)

...

\( + (4 - 2) \) (это 2)

\( + 2 - 1 \) (это 1)

Сколько пар \( (X - (X-2)) \) ?

Пары: \( (1000-998), (996-994), ..., (4-2) \).

Первое число в паре: 1000, 996, 992, ..., 4. Это арифметическая прогрессия с разностью 4.

Количество членов: \( (1000 - 4) / 4 + 1 = 250 \). Значит, 250 таких пар.

Сумма этих пар: \( 250 \cdot 2 = 500 \).

И затем ещё \( +2-1 = 1 \).

Общая сумма: \( 500 + 1 = 501 \).

Проверим: \( 1000 - 998 = 2 \), \( + 996 \) , \( -994 \), \( +992 \), \( -990 \)...

Если трактовать знаки как чередующиеся: +1000, -998, -996, -994, -992, -900, ... , +2, -1.

Это похоже на задачу с сайта: \( 1000 - 998 + 996 - 994 + 992 - 990 + ... + 4 - 2 + 2 - 1 \)

Если так, то:

\( (1000 - 998) + (996 - 994) + (992 - 990) + ... + (4 - 2) + 2 - 1 \)

Каждая скобка равна 2. Сколько скобок? От 1000 до 2, с шагом 4. \( (1000-2) / 4 \) не целое.

От 1000 до 4, с шагом 4: 1000, 996, ..., 4. \( (1000 - 4) / 4 + 1 = 250 \) чисел.

Значит, 250 пар.

Сумма пар: \( 250 \cdot 2 = 500 \).

И затем \( +2-1 = 1 \).

\( 500 + 1 = 501 \).

Ответ: 501