Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 1. Вычислите: а) 27^{1/3} - 25^{1/2} + 16^{3/4} - 27^{1/3} б) \(\frac{9^{5/4}}{27^{0.4} \cdot 3^{0.3}}\)Фото задания

Ответ:

Решение:

а) Вычисление значения выражения:

  1. Представим числа в виде степеней простых множителей: \( 27 = 3^3 \), \( 25 = 5^2 \), \( 16 = 2^4 \).
  2. Подставим эти значения в выражение: \( (3^3)^{1/3} - (5^2)^{1/2} + (2^4)^{3/4} - (3^3)^{1/3} \).
  3. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 3^{3 \cdot 1/3} - 5^{2 \cdot 1/2} + 2^{4 \cdot 3/4} - 3^{3 \cdot 1/3} \).
  4. Выполним умножение степеней: \( 3^1 - 5^1 + 2^3 - 3^1 \).
  5. Вычислим значения: \( 3 - 5 + 8 - 3 \).
  6. Сложим и вычтем числа: \( (3 - 3) + (-5 + 8) = 0 + 3 = 3 \).

б) Вычисление значения выражения:

  1. Представим числа в виде степеней числа 3: \( 9 = 3^2 \), \( 27 = 3^3 \).
  2. Подставим в выражение: \( \frac{(3^2)^{5/4}}{(3^3)^{0.4} \cdot 3^{0.3}} \).
  3. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( \frac{3^{2 \cdot 5/4}}{3^{3 \cdot 0.4} \cdot 3^{0.3}} = \frac{3^{5/2}}{3^{1.2} \cdot 3^{0.3}} \).
  4. Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: \( 1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} \), \( 0.3 = \frac{3}{10} \).
  5. Выражение примет вид: \( \frac{3^{5/2}}{3^{6/5} \cdot 3^{3/10}} \).
  6. Применим свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в знаменателе: \( \frac{3^{5/2}}{3^{6/5 + 3/10}} \).
  7. Приведём степени в знаменателе к общему знаменателю (10): \( \frac{6}{5} = \frac{12}{10} \). \( \frac{12}{10} + \frac{3}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} \).
  8. Выражение станет: \( \frac{3^{5/2}}{3^{3/2}} \).
  9. Применим свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 3^{5/2 - 3/2} = 3^{2/2} = 3^1 = 3 \).

Ответ: а) 3; б) 3.