1. Вычислите: a) 8⁻³ ⋅ 16⁴; б) 5¹/₃ ⋅ (-²/₃)⁻³ + 0,5; в) ⁠6³ ⋅ (12²)⁻² (18⁻¹)² г) (√3/2)⁻² ⋅ (-1¹/₃)⁻²

1. Вычисление выражений:

а) \( 8^{-3} \cdot 16^4 \)

1. Представим числа в виде степеней двойки: \( 8 = 2^3 \), \( 16 = 2^4 \).
2. Подставим в выражение: \( (2^3)^{-3} \cdot (2^4)^4 \).
3. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m
   \cdot n} \): \( 2^{3 \cdot (-3)} \cdot 2^{4 \cdot 4} = 2^{-9} \cdot 2^{16} \).
4. Применим свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( 2^{-9+16} = 2^7 \).
5. Вычислим результат: \( 2^7 = 128 \).

б) \( 5\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{-3} + 0,5 \)

1. Представим смешанное число в виде неправильной дроби: \( 5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3} \).
2. Применим свойство степени \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) и \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \): \( \left(-\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{(-3)^3}{2^3} = \frac{-27}{8} \).
3. Подставим значения в выражение: \( \frac{16}{3} \cdot \left(-\frac{27}{8}\right) + 0,5 \).
4. Сократим дроби: \( \frac{16}{3} \cdot \left(-\frac{27}{8}\right) = \frac{16 \cdot (-27)}{3 \cdot 8} = \frac{2 \cdot (-9)}{1} = -18 \).
5. Добавим 0,5: \( -18 + 0,5 = -17,5 \).

в) \( \frac{6^3 \cdot (12^2)^{-2}}{(18^{-1})^2} \)

1. Представим числа в виде простых множителей: \( 6 = 2 \cdot 3 \), \( 12 = 2^2 \cdot 3 \), \( 18 = 2 \cdot 3^2 \).
2. Подставим в выражение: \( \frac{(2 \cdot 3)^3 \cdot ((2^2 \cdot 3)^2)^{-2}}{((2 \cdot 3^2)^{-1})^2} \).
3. Применим свойства степеней: \( \frac{2^3 \cdot 3^3 \cdot (2^4 \cdot 3^2)^{-2}}{ (2^{-1} \cdot 3^{-2})^2 } = \frac{2^3 \cdot 3^3 \cdot 2^{-8} \cdot 3^{-4}}{ 2^{-2} \cdot 3^{-4}} \).
4. Сложим показатели степеней в числителе и знаменателе: \( \frac{2^{3-8} \cdot 3^{3-4}}{2^{-2} \cdot 3^{-4}} = \frac{2^{-5} \cdot 3^{-1}}{2^{-2} \cdot 3^{-4}} \).
5. Вычтем показатели степеней при делении: \( 2^{-5 - (-2)} \cdot 3^{-1 - (-4)} = 2^{-3} \cdot 3^3 \).
6. Вычислим результат: \( \frac{1}{2^3} \cdot 3^3 = \frac{27}{8} = 3,375 \).

г) \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{-2} \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right)^{-2} \)

1. Преобразуем смешанное число: \( -1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3} \).
2. Применим свойство степени \( a^{-n} = (1/a)^n \) и \( (a/b)^n = a^n/b^n \): \( \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^2 \).
3. Возведем в степень: \( \frac{2^2}{(\sqrt{3})^2} \cdot \frac{(-3)^2}{4^2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{16} \).
4. Сократим дроби: \( \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 16} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \frac{3}{4} \).

Ответ: а) 128; б) -17,5; в) 3,375; г) 3/4.