1. Вычислите: a) arccos (-1) - arccos 1/2 - 3 arccos (-√3/2); б) arccos (sin 2π/3); в) ctg (arccos (-1/2))

1. Вычисления:

а) \( \arccos(-1) - \arccos\frac{1}{2} - 3 \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)

Для вычисления этого выражения, нужно знать значения арккосинусов:

• \( \arccos(-1) = \pi \)
• \( \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \)
• \( \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6} \)

Подставляем значения:

\( \pi - \frac{\pi}{3} - 3 \cdot \frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} - \frac{15\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{2} \)

Приводим к общему знаменателю 6:

\( \frac{6\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} - \frac{15\pi}{6} = \frac{6\pi - 2\pi - 15\pi}{6} = \frac{-11\pi}{6} \)

б) \( \arccos\left(\sin\frac{2\pi}{3}\right) \)

Сначала вычислим \( \sin\frac{2\pi}{3} \):

\( \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Теперь вычислим арккосинус этого значения:

\( \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \)

в) \( \text{ctg}\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) \)

Сначала найдём \( \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) \). Пусть \( \alpha = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) \). Тогда \( \cos(\alpha) = -\frac{1}{2} \) и \( \alpha \in [0, \pi] \). Отсюда, \( \alpha = \frac{2\pi}{3} \).

Теперь вычислим \( \text{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) \):

\( \text{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\cos(\frac{2\pi}{3})}{\sin(\frac{2\pi}{3})} = \frac{-1/2}{\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \)

Ответ: а) \(-\frac{11\pi}{6}\); б) \(\frac{\pi}{6}\); в) \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\).