1. Вычислите интегралы: левая колонка: а) $\int_1^3 \frac{3x^4-2x^2+6}{x^2}\,dx$; б) $\int_1^5 \left(\frac{1}{\sqrt{11-2x}}+1\right)dx$; в) $\int_0^{2\pi}\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{8}\right)dx$; г) $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\operatorname{ctg}^2x\,dx$. Правая колонка: а) $\int_1^2 \frac{2x^5-x^3-8}{x^3}\,dx$; б) $\int_1^6 \left(\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}-2\right)dx$; в) $\int_0^{2\pi}\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{4}\right)dx$; г) $\int_0^{\pi/4}\operatorname{tg}^2x\,dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Вычислите интегралы: левая колонка: а) $\int_1^3 \frac{3x^4-2x^2+6}{x^2}\,dx$; б) \(\int_1^5…$ Фото задания

Accepted Answer

Левая колонка

Упростим подынтегральное выражение: $\frac{3x^4-2x^2+6}{x^2}=3x^2-2+\frac{6}{x^2}$.
Первообразная: $x^3-2x-\frac{6}{x}$. Поэтому $\left[x^3-2x-\frac{6}{x}\right]_1^3=19-(-7)=26$.
Первообразная: $-\sqrt{11-2x}+x$, поскольку производная $-\sqrt{11-2x}$ равна $1/\sqrt{11-2x}$.
$\left[-\sqrt{11-2x}+x\right]_1^5=4-(-2)=6$.
Используем $\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{8})=\sin(\frac{x}{8})$ и формулу $\sin^2u=\frac{1-\cos 2u}{2}$.
$\int_0^{2\pi}\sin^2(\frac{x}{8})\,dx=\left[\frac{x}{2}-2\sin(\frac{x}{4})\right]_0^{2\pi}=\pi-2$.
Так как $\operatorname{ctg}^2x=\operatorname{csc}^2x-1$, первообразная равна $-\operatorname{ctg}x-x$.
$\left[-\operatorname{ctg}x-x\right]_{\pi/4}^{\pi/2}=1-\frac{\pi}{4}$.

Правая колонка

Упростим дробь: $\frac{2x^5-x^3-8}{x^3}=2x^2-1-\frac{8}{x^3}$.
Первообразная: $\frac{2x^3}{3}-x+\frac{4}{x^2}$. Тогда $\left[\frac{2x^3}{3}-x+\frac{4}{x^2}\right]_1^2=\frac{13}{3}-\frac{11}{3}=\frac{2}{3}$.
Первообразная: $\sqrt{3x-2}-2x$, так как производная $\sqrt{3x-2}$ равна $\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}$.
$\left[\sqrt{3x-2}-2x\right]_1^6=-8-(-1)=-7$.
Поскольку $\sin(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{4})=-\cos(\frac{x}{4})$, квадрат равен $\cos^2(\frac{x}{4})$.
$\int_0^{2\pi}\cos^2(\frac{x}{4})\,dx=\left[\frac{x}{2}+\sin(\frac{x}{2})\right]_0^{2\pi}=\pi$.
Так как $\operatorname{tg}^2x=\sec^2x-1$, первообразная равна $\operatorname{tg}x-x$.
$\left[\operatorname{tg}x-x\right]_0^{\pi/4}=1-\frac{\pi}{4}$.

Ответ: левая колонка: а) 26; б) 6; в) $\pi-2$; г) $1-\frac{\pi}{4}$. Правая колонка: а) $\frac{2}{3}$; б) −7; в) $\pi$; г) $1-\frac{\pi}{4}$.