1. Вычислите определённый интеграл: а) $\int_{-2}^{1}(-3x^2-4x+2)\,dx$; б) $\int_{\pi/8}^{\pi/4}\frac{1}{\sin^2 2x}\,dx$; в) $\int_{1}^{2}\frac{2}{(x-2)^2}\,dx$; г) $\int_{1}^{6}x^{0.25}\,dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Вычислите определённый интеграл: а) $\int_{-2}^{1}(-3x^2-4x+2)\,dx$; б) $\int_{\pi/8}^{\pi/4}\frac{1}{\sin^2 2x}\,dx$;…$ Фото задания

1. Вычислите определённый интеграл: а) $\int_{-2}^{1}(-3x^2-4x+2)\,dx$; б) $\int_{\pi/8}^{\pi/4}\frac{1}{\sin^2 2x}\,dx$; в) $\int_{1}^{2}\frac{2}{(x-2)^2}\,dx$; г) $\int_{1}^{6}x^{0.25}\,dx$.

Accepted Answer

а) Первообразная: $F(x)=-x^3-2x^2+2x$.

По формуле Ньютона—Лейбница: $F(1)-F(-2)=(-1-2+2)-\bigl(8-8-4\bigr)=-1-(-4)=3$.

б) Используем первообразную $\int\frac{dx}{\sin^2 2x}=-\frac12\cot 2x$.

Тогда $\left.-\frac12\cot 2x\right|_{\pi/8}^{\pi/4}=0-\left(-\frac12\right)=\frac12$.

в) Подынтегральная функция не определена при $x=2$, поэтому рассматриваем несобственный интеграл: $\lim_{b\to2-}\int_1^b\frac{2}{(x-2)^2}\,dx$. Первообразная равна $-\frac{2}{x-2}$, и $\lim_{b\to2-}\left(-\frac{2}{b-2}-2\right)=+\infty$. Следовательно, интеграл расходится.

г) $\int x^{0.25}\,dx=\frac45x^{1.25}$. Поэтому $\left.\frac45x^{1.25}\right|_1^6=\frac45(6^{1.25}-1)=\frac45(6^{5/4}-1)$.

Ответ: а) 3; б) $\frac12$; в) интеграл расходится; г) $\frac45(6^{5/4}-1)$.

1. Вычислите определённый интеграл: а) \(\int_{-2}^{1}(-3x^2-4x+2)\,dx\); б) \(\int_{\pi/8}^{\pi/4}\frac{1}{\sin^2 2x}\,dx\); в) \(\int_{1}^{2}\frac{2}{(x-2)^2}\,dx\); г) \(\int_{1}^{6}x^{0.25}\,dx\).

Ответ: