1. Вычислите скалярное произведение векторов $\vec m$ и $\vec n$, если: вариант 1 — $\vec m=\vec a+2\vec b-\vec c$, $\vec n=2\vec a-\vec b$, $|\vec a|=2$, $|\vec b|=3$, $\angle(\vec a,\vec b)=60^\circ$, $\vec c\perp\vec a$, $\vec c\perp\vec b$; вариант 2 — $\vec m=2\vec a-\vec b+\vec c$, $\vec n=\vec a-2\vec b$, $|\vec a|=3$, $|\vec b|=2$, $\angle(\vec a,\vec b)=60^\circ$, $\vec c\perp\vec a$, $\vec c\perp\vec b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Вычислите скалярное произведение векторов $\vec m$ и $\vec n$, если: вариант 1 — $\vec m=\vec a+2\vec b-\vec c$,…$ Фото задания

1. Вычислите скалярное произведение векторов $\vec m$ и $\vec n$, если: вариант 1 — $\vec m=\vec a+2\vec b-\vec c$, $\vec n=2\vec a-\vec b$, $|\vec a|=2$, $|\vec b|=3$, $\angle(\vec a,\vec b)=60^\circ$, $\vec c\perp\vec a$, $\vec c\perp\vec b$; вариант 2 — $\vec m=2\vec a-\vec b+\vec c$, $\vec n=\vec a-2\vec b$, $|\vec a|=3$, $|\vec b|=2$, $\angle(\vec a,\vec b)=60^\circ$, $\vec c\perp\vec a$, $\vec c\perp\vec b$.

Accepted Answer

Вариант 1. Раскрываем скалярное произведение:

$(\vec a+2\vec b-\vec c)\cdot(2\vec a-\vec b)=2|\vec a|^2+3(\vec a\cdot\vec b)-2|\vec b|^2-2(\vec c\cdot\vec a)+\vec c\cdot\vec b$.

Так как $\vec c$ перпендикулярен и $\vec a$, и $\vec b$, оба слагаемых с $\vec c$ равны нулю. Кроме того, $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos60^\circ=2\cdot3\cdot\frac12=3$.

Получаем: $2\cdot2^2+3\cdot3-2\cdot3^2=8+9-18=-1$.

Вариант 2.

$(2\vec a-\vec b+\vec c)\cdot(\vec a-2\vec b)=2|\vec a|^2-5(\vec a\cdot\vec b)+2|\vec b|^2+\vec c\cdot\vec a-2(\vec c\cdot\vec b)$.

Слагаемые с $\vec c$ равны нулю. $\vec a\cdot\vec b=3\cdot2\cdot\cos60^\circ=3$.

Тогда $2\cdot3^2-5\cdot3+2\cdot2^2=18-15+8=11$.

Ответ: вариант 1 — $-1$; вариант 2 — $11$.