1. Вычислите 8² log₆₄ 17

Решение:

Для вычисления выражения \( 8^2 \log_{64} 17 \), воспользуемся свойствами логарифмов и степеней.

1. Представим основание логарифма как степень числа 8: \( 64 = 8^2 \).
2. Подставим это в логарифм: \( \log_{64} 17 = \log_{8^2} 17 \).
3. Используем свойство логарифма \( \log_{a^m} b = \frac{1}{m} \log_a b \): \( \log_{8^2} 17 = \frac{1}{2} \log_8 17 \).
4. Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \( 8^2 \cdot \frac{1}{2} \log_8 17 \).
5. Упростим: \( 64 \cdot \frac{1}{2} \log_8 17 = 32 \log_8 17 \).
6. Воспользуемся свойством \( n \log_a b = \log_a b^n \) для того, чтобы внести 32 в логарифм: \( \log_8 17^{32} \).
7. Альтернативный путь, который проще: Заметим, что \( 8^2 = 64 \). Выражение можно записать как \( 64^{\log_{64} 17} \).
8. Используем основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \): \( 64^{\log_{64} 17} = 17 \).

Ответ: 17.