Ответ:

1) стремительно развиваясь - примыкание (наречие 'стремительно' относится к глаголу 'развиваясь', связь только по смыслу)
2) просить царя - управление (глагол 'просить' требует дополнения в винительном падеже 'царя')
3) кремлёвские стены - согласование (прилагательное 'кремлёвские' согласуется с существительным 'стены' в роде, числе и падеже)
4) через него - управление (предлог 'через' требует дополнения в родительном падеже 'него')