1. Выполните действие: А) \(\left(\frac{x}{y^2}-\frac1x\right):\left(\frac1y-\frac1x\right)\); Б) \(\left(\frac{a}{m^2}+\frac{a^2}{m^3}\right):\left(\frac{m^2}{a^2}+\frac{m}{a}\right)\); В) \(\left(\frac{x}{x+1}+1\right)\cdot\frac{1+x}{2x-1}\); Г) \(\frac{x-2}{x-3}\cdot\left(x+\frac{x}{2-x}\right)\); Д) \(\left(1-\frac{x}{x+1}\right):\frac{x}{xy+y}\).

А) Приведём дроби в каждой скобке к общему знаменателю:

\(\frac{x}{y^2}-\frac1x=\frac{x^2-y^2}{xy^2}=\frac{(x-y)(x+y)}{xy^2}\), а \(\frac1y-\frac1x=\frac{x-y}{xy}\).

Деление заменяем умножением на обратную дробь и сокращаем:

\(\frac{(x-y)(x+y)}{xy^2}\cdot\frac{xy}{x-y}=\frac{x+y}{y}\).

ОДЗ: \(x\ne0\), \(y\ne0\), \(x\ne y\).

Б) Вынесем общие множители:

\(\frac{a}{m^2}+\frac{a^2}{m^3}=\frac{a(m+a)}{m^3}\), \(\frac{m^2}{a^2}+\frac{m}{a}=\frac{m(m+a)}{a^2}\).

Разделим первую дробь на вторую:

\(\frac{a(m+a)}{m^3}\cdot\frac{a^2}{m(m+a)}=\frac{a^3}{m^4}\).

ОДЗ: \(a\ne0\), \(m\ne0\), \(m\ne-a\).

В) Преобразуем сумму в скобках:

\(\left(\frac{x}{x+1}+1\right)\cdot\frac{1+x}{2x-1}=\frac{2x+1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{2x-1}=\frac{2x+1}{2x-1}\).

ОДЗ: \(x\ne-1\), \(x\ne\frac12\).

Г) Преобразуем выражение в скобках:

\(x+\frac{x}{2-x}=\frac{x(2-x)+x}{2-x}=\frac{x(3-x)}{2-x}\).

Тогда

\(\frac{x-2}{x-3}\cdot\frac{x(3-x)}{2-x}=x\), поскольку \(\frac{x-2}{2-x}=-1\) и \(\frac{3-x}{x-3}=-1\).

ОДЗ: \(x\ne2\), \(x\ne3\).

Д) Упростим обе части деления:

\(1-\frac{x}{x+1}=\frac1{x+1}\), а \(\frac{x}{xy+y}=\frac{x}{y(x+1)}\).

Следовательно,

\(\frac1{x+1}:\frac{x}{y(x+1)}=\frac1{x+1}\cdot\frac{y(x+1)}x=\frac yx\).

ОДЗ: \(x\ne0\), \(y\ne0\), \(x\ne-1\).

Ответ: А) \(\frac{x+y}{y}\); Б) \(\frac{a^3}{m^4}\); В) \(\frac{2x+1}{2x-1}\); Г) \(x\); Д) \(\frac yx\).