1. Выполните действия: a) \(\frac{b+3a}{18a^2b} + \frac{a-4b}{24ab^2}\) b) \(\frac{x-5}{5x+25} + \frac{3x+5}{x^2+5x}\) 2. Выполните действия: a) \(\frac{a+8}{5a} : \frac{a^2-64}{15a^2}\) 3. Упростите выражение: \(\frac{4-3y}{y+4} : \left(\frac{4-y}{4+y} + \frac{y}{y-4}\right)\) 1. б) \(\frac{a+3}{4a(a-3)} - \frac{a-3}{4a(a+3)}\) 2. б) \(\frac{b^4}{2a^6c^2} \cdot \frac{(2c)^3a^4}{b^5}\)

1. Выполните действия:

а)

Приведём дроби к общему знаменателю \( 72a^2b^2 \).

\(\frac{b+3a}{18a^2b} \cdot \frac{4b}{4b} + \frac{a-4b}{24ab^2} \cdot \frac{3a}{3a} = \frac{4b(b+3a) + 3a(a-4b)}{72a^2b^2} = \frac{4b^2 + 12ab + 3a^2 - 12ab}{72a^2b^2} = \frac{3a^2 + 4b^2}{72a^2b^2}\)

б)

Вынесем общий множитель в знаменателях:

\(\frac{x-5}{5(x+5)} + \frac{3x+5}{x(x+5)}\)

Общий знаменатель \( 5x(x+5) \).

\(\frac{x(x-5)}{5x(x+5)} + \frac{5(3x+5)}{5x(x+5)} = \frac{x^2 - 5x + 15x + 25}{5x(x+5)} = \frac{x^2 + 10x + 25}{5x(x+5)} = \frac{(x+5)^2}{5x(x+5)} = \frac{x+5}{5x}\)

б)

Приведём дроби к общему знаменателю \( 4a(a-3)(a+3) \).

\(\frac{(a+3)(a+3)}{4a(a-3)(a+3)} - \frac{(a-3)(a-3)}{4a(a+3)(a-3)} = \frac{a^2 + 6a + 9 - (a^2 - 6a + 9)}{4a(a^2-9)} = \frac{a^2 + 6a + 9 - a^2 + 6a - 9}{4a(a^2-9)} = \frac{12a}{4a(a^2-9)} = \frac{3}{a^2-9}\)

2. Выполните действия:

а)

Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь:

\(\frac{a+8}{5a} \cdot \frac{15a^2}{a^2-64} = \frac{a+8}{5a} \cdot \frac{15a^2}{(a-8)(a+8)} = \frac{15a^2}{5a(a-8)} = \frac{3a}{a-8}\)

б)

Упростим выражение:

\(\frac{b^4}{2a^6c^2} \cdot \frac{8c^3a^4}{b^5} = \frac{8a^4b^4c^3}{2a^6b^5c^2} = \frac{4c}{a^2b}\)

3. Упростите выражение:

Сначала выполним сложение в скобках, приведя к общему знаменателю \( (4+y)(y-4) \). Обратите внимание, что \( y-4 = -(4-y) \).

\(\frac{4-y}{4+y} + \frac{y}{y-4} = \frac{4-y}{4+y} - \frac{y}{4-y} = \frac{(4-y)^2 - y(4+y)}{(4+y)(4-y)} = \frac{16 - 8y + y^2 - 4y - y^2}{16 - y^2} = \frac{16 - 12y}{16 - y^2}\)

Теперь выполним деление:

\(\frac{4-3y}{y+4} : \frac{16 - 12y}{16 - y^2} = \frac{4-3y}{y+4} \cdot \frac{16 - y^2}{16 - 12y} = \frac{4-3y}{y+4} \cdot \frac{(4-y)(4+y)}{4(4-3y)} = \frac{4-y}{4}\)

Ответ: 1. а) \(\frac{3a^2 + 4b^2}{72a^2b^2}\); б) \(\frac{x+5}{5x}\). 1. б) \(\frac{3}{a^2-9}\). 2. а) \(\frac{3a}{a-8}\); б) \(\frac{4c}{a^2b}\). 3. \(\frac{4-y}{4}\).