1.Выполните действия: (x+y)/y : (x²+2xy+y²)/xy² - xy/(x+y)

Решение:

Чтобы решить это выражение, сначала упростим его:

1. Первое деление:

   Мы делим дробь \[ \frac{x+y}{y} \] на дробь \[ \frac{x^2+2xy+y^2}{xy^2} \]. Деление на дробь — это умножение на обратную дробь:

   \[ \frac{x+y}{y} \times \frac{xy^2}{x^2+2xy+y^2} \]

   Заметим, что \[ x^2+2xy+y^2 \] — это квадрат суммы: \[ (x+y)^2 \]. Также \[ xy^2 \] можно записать как \[ xy \times y \].

   Подставляем и сокращаем:

   \[ \frac{x+y}{y} \times \frac{xy \times y}{(x+y)^2} = \frac{x+y}{y} \times \frac{xy \times y}{(x+y)(x+y)} \]

   Сокращаем \[ y \] и один \[ (x+y) \]:

   \[ \frac{x}{x+y} \times x = \frac{x^2}{x+y} \]

2. Вычитание:

   Теперь вычитаем из результата \[ \frac{x^2}{x+y} \] дробь \[ \frac{xy}{x+y} \]:

   \[ \frac{x^2}{x+y} - \frac{xy}{x+y} \]

   Дроби имеют одинаковые знаменатели, поэтому просто вычитаем числители:

   \[ \frac{x^2 - xy}{x+y} \]

   Вынесем \[ x \] из числителя:

   \[ \frac{x(x - y)}{x+y} \]

Ответ: \[ \frac{x(x - y)}{x+y} \]