1. Взаимное расположение двух прямых. Какие прямые называются перпендикулярными? Каким свойством обладают две прямые, перпендикулярные к третьей прямой? Сделайте рисунок. 2. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°. 3. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что ∠1 = 120°, ∠2 = 60°, ∠3 = 55°. Найдите ∠4. Ответ дайте в градусах.

Решение задач:

1. Взаимное расположение прямых:

   Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (90°).

   Свойство: Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны друг другу. Это значит, что они никогда не пересекутся.

   Рисунок:

   В этом рисунке прямая m (красная) перпендикулярна прямой l (черная). Прямая n (синяя) также перпендикулярна прямой l. Следовательно, прямые m и n параллельны.

2. Доказательство суммы углов треугольника:

   1. Проведем через вершину B треугольника ABC прямую m, параллельную стороне AC.

   2. Углы ∠BAC и ∠ABm являются накрест лежащими при параллельных прямых AC и m и секущей AB. Значит, ∠BAC = ∠ABm.

   3. Углы ∠BCA и ∠BCm являются накрест лежащими при параллельных прямых AC и m и секущей BC. Значит, ∠BCA = ∠BCm.

   4. Углы ∠ABm, ∠ABC и ∠BCm образуют развернутый угол (прямую m). Поэтому их сумма равна 180°: ∠ABm + ∠ABC + ∠BCm = 180°.

   5. Заменяем ∠ABm на ∠BAC и ∠BCm на ∠BCA:

   ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.

   Что и требовалось доказать.

3. Нахождение угла ∠4:

   Дано:

   • Прямая 1 || Прямой 2
   • Прямая 3 || Прямой 4
   • ∠1 = 120°
   • ∠2 = 60°
   • ∠3 = 55°

   Решение:

   Из рисунка видно, что прямые, обозначенные как 1 и 2, параллельны, и прямые, обозначенные как 3 и 4, параллельны. Это означает, что у нас есть два набора параллельных прямых, пересекающихся друг с другом.

   1. Угол ∠1 и смежный с ним угол: Угол ∠1 и угол, который с ним смежный (обозначим его ∠1_смежный), образуют развернутый угол (180°).
      ∠1_смежный = 180° - ∠1 = 180° - 120° = 60°.
   2. Угол ∠2 и ∠1_смежный: Угол ∠2 и ∠1_смежный являются соответственными углами при пересечении параллельных прямых (1 и 2) секущей (той, что образует ∠1 и ∠2). Значит, ∠2 = ∠1_смежный. Из рисунка видно, что ∠2 = 60°, что соответствует нашему расчету ∠1_смежный.
   3. Угол ∠3 и смежный с ним угол: Угол ∠3 и угол, смежный с ним (∠3_смежный), образуют развернутый угол (180°).
      ∠3_смежный = 180° - ∠3 = 180° - 55° = 125°.
   4. Угол ∠4 и ∠3: Угол ∠4 и угол ∠3 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых (3 и 4) секущей (той, что образует ∠3 и ∠4). Следовательно, ∠4 = ∠3.
   5. Нахождение ∠4: Поскольку ∠4 = ∠3, то ∠4 = 55°.

   Альтернативный подход с использованием свойств параллельных прямых:

   1. Пусть секущая, образующая углы 1 и 3, пересекает две другие параллельные прямые.
   2. Угол, накрест лежащий с углом 1 (120°), будет равен 120°.
   3. Угол, соответствующий углу 2 (60°), будет равен 60°.
   4. Угол 3 (55°) и угол 4 являются накрест лежащими, так как они образованы секущей, пересекающей две параллельные прямые (3 и 4). Следовательно, ∠4 = ∠3 = 55°.

Ответ: 55