1/(x-3)^2 - 3/(x-3) - 4 = 0

Привет! Давай разберемся с этим уравнением вместе. Оно выглядит немного страшно, но на самом деле всё проще, чем кажется.

Шаг 1: Замена переменной

Смотри, у нас есть похожие части: \( \frac{1}{(x-3)^2} \) и \( \frac{3}{x-3} \). Чтобы упростить, давай сделаем замену. Пусть
y
=
1/(x-3)
. Тогда
y^2
=
1/(x-3)^2
.

Теперь наше уравнение выглядит так:

\[ y^2 - 3y - 4 = 0 \]

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение

Это обычное квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта или просто подобрать корни. Давай найдем корни:

• 
  y1
  = 4
• 
  y2
  = -1

Шаг 3: Возвращаемся к исходной переменной

Теперь нужно найти
x
. У нас есть два случая:

1. Случай 1:
   y = 4
   

Вспоминаем, что
y = 1/(x-3)
. Значит:

\[ \frac{1}{x-3} = 4 \]

Умножаем обе стороны на
(x-3)
:

\[ 1 = 4(x-3) \]

Раскрываем скобки:

\[ 1 = 4x - 12 \]

Переносим
12
в левую часть:

\[ 1 + 12 = 4x \]

\[ 13 = 4x \]

Делим на 4:

\[ x = \frac{13}{4} \]

$$x = 3.25$$

2. Случай 2:
   y = -1
   

Аналогично:

\[ \frac{1}{x-3} = -1 \]

Умножаем обе стороны на
(x-3)
:

\[ 1 = -1(x-3) \]

Раскрываем скобки:

\[ 1 = -x + 3 \]

Переносим
-x
в левую часть, а
1
в правую:

\[ x = 3 - 1 \]

\[ x = 2 \]

Важно! Не забываем, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. В нашем случае
x
не должен быть равен 3. Оба найденных корня (
13/4
и
2
) не равны 3, так что всё в порядке.

Ответ: $$x = \frac{13}{4}$$ и $$x = 2$$