(1+x²)y' - 2xy = (1+x²)²;

Question

Вопрос:

(1+x²)y' - 2xy = (1+x²)²;

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение:

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения мы приведем его к стандартному виду $ y' + P(x)y = Q(x) $ и найдем интегрирующий множитель.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду. Разделим обе части на $ (1+x^2) $:
$ y' - rac{2x}{1+x^2} y = rac{(1+x^2)^2}{1+x^2} $
$ y' - rac{2x}{1+x^2} y = 1+x^2 $
Шаг 2: Найдем интегрирующий множитель $ μ(x) $. Формула: $ μ(x) = e^{∫ P(x) dx} $.
В нашем случае $ P(x) = -rac{2x}{1+x^2} $.
$ ∫ -rac{2x}{1+x^2} dx = -∫ rac{2x}{1+x^2} dx $
Сделаем замену: $ u = 1+x^2 $, тогда $ du = 2x dx $.
$ -∫ rac{1}{u} du = - ext{ln}|u| = - ext{ln}|1+x^2| $. Так как $ 1+x^2 $ всегда положительно, то $ - ext{ln}(1+x^2) $.
Интегрирующий множитель: $ μ(x) = e^{- ext{ln}(1+x^2)} = e^{ ext{ln}((1+x^2)^{-1})} = (1+x^2)^{-1} = rac{1}{1+x^2} $.
Шаг 3: Умножим обе части уравнения в стандартном виде на интегрирующий множитель:
$ rac{1}{1+x^2} y' - rac{1}{1+x^2} rac{2x}{1+x^2} y = rac{1}{1+x^2} (1+x^2) $
$ rac{1}{1+x^2} y' - rac{2x}{(1+x^2)^2} y = 1 $
Шаг 4: Левая часть уравнения является производной от произведения $ y · μ(x) $:
$ rac{d}{dx} ig( y · rac{1}{1+x^2} ig) = 1 $
Шаг 5: Проинтегрируем обе части:
$ ∫ rac{d}{dx} ig( y · rac{1}{1+x^2} ig) dx = ∫ 1 dx $
$ y · rac{1}{1+x^2} = x + C $
Шаг 6: Выразим $ y $:
$ y = (x+C)(1+x^2) $
$ y = x + x^3 + C + Cx^2 $

Ответ: $$y = x + x^3 + C + Cx^2$$