(1+x²)y' - 2xy = (1+x2)²

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Общий вид:

\[ y' + P(x)y = Q(x) \]

В нашем случае:

\[ y' - \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{(1+x^2)^2}{1+x^2} \]

\[ y' - \frac{2x}{1+x^2}y = 1+x^2 \]

Здесь $$P(x) = -\frac{2x}{1+x^2}$$ и $$Q(x) = 1+x^2$$.

Решение ищем в виде:

\[ y = u(x) v(x) \]

Тогда $$y' = u'v + uv'$$. Подставляем в уравнение:

\[ (u'v + uv') - \frac{2x}{1+x^2}uv = 1+x^2 \]

Группируем члены:

\[ u'(v) + u(v' - \frac{2x}{1+x^2}v) = 1+x^2 \]

Приравниваем выражение в скобках к нулю, чтобы найти $$v(x)$$:

\[ v' - \frac{2x}{1+x^2}v = 0 \]

\[ \frac{dv}{dx} = \frac{2x}{1+x^2}v \]

\[ \frac{dv}{v} = \frac{2x}{1+x^2}dx \]

Интегрируем обе части:

\[ \int \frac{dv}{v} = \int \frac{2x}{1+x^2}dx \]

\[ \ln|v| = \ln(1+x^2) + C \]

\[ v = e^{\ln(1+x^2) + C} = e^C e^{\ln(1+x^2)} = A(1+x^2) \]

Теперь подставляем $$v = 1+x^2$$ в уравнение для $$u'$$:

\[ u'(1+x^2) = 1+x^2 \]

\[ u' = 1 \]

Интегрируем $$u'$$:

\[ u = \int 1 dx = x + C_1 \]

Возвращаемся к $$y = uv$$:

\[ y = (x+C_1)(1+x^2) \]

Ответ:

y = (x + C)(1+x²)