1) y=2x^5+6x^2+9; 2) y = −7x^2 +10√x ; 3) y = 5x^3 - 1/x; 4) y=4·ctgx+12x^2; 5) y= x^16+4x^9-11x; 6) y=(x^4+3)·(x^6-2); 7) y = √x ·(x^4 -7); 8) y=√x ·cosx ; 9) y = (6−1/x)·(7x+2); 10) y = (4x+7)/(x-2); 11) y = x^3/(3x^2+1); 12) y = cosx/(x+5).

Самостоятельная работа по теме «Производные» Вариант 26.

Найдите производную функции:

1) \( y = 2x^5 + 6x^2 + 9 \)

Используем правила дифференцирования:

• Производная от \( ax^n \) равна \( anx^{n-1} \).
• Производная от константы равна 0.

\( y' = \frac{d}{dx}(2x^5) + \frac{d}{dx}(6x^2) + \frac{d}{dx}(9) \)

\( y' = (2 · 5)x^{5-1} + (6 · 2)x^{2-1} + 0 \)

\( y' = 10x^4 + 12x \)

Ответ: \( y' = 10x^4 + 12x \).

2) \( y = -7x^2 + 10√{x} \)

Перепишем \( √{x} \) как \( x^{1/2} \).

\( y = -7x^2 + 10x^{1/2} \)

\( y' = \frac{d}{dx}(-7x^2) + \frac{d}{dx}(10x^{1/2}) \)

\( y' = (-7 · 2)x^{2-1} + (10 · \frac{1}{2})x^{1/2 - 1} \)

\( y' = -14x - 5x^{-1/2} \)

\( y' = -14x - \frac{5}{√{x}} \)

Ответ: \( y' = -14x - \frac{5}{√{x}} \).

3) \( y = 5x^3 - \frac{1}{x} \)

Перепишем \( \frac{1}{x} \) как \( x^{-1} \).

\( y = 5x^3 - x^{-1} \)

\( y' = \frac{d}{dx}(5x^3) - \frac{d}{dx}(x^{-1}) \)

\( y' = (5 · 3)x^{3-1} - (-1)x^{-1-1} \)

\( y' = 15x^2 + x^{-2} \)

\( y' = 15x^2 + \frac{1}{x^2} \)

Ответ: \( y' = 15x^2 + \frac{1}{x^2} \).

4) \( y = 4 · \text{ctgx} + 12x^2 \)

Производная от \( \text{ctgx} \) равна \( -\frac{1}{²\text{sin}x} \).

\( y' = \frac{d}{dx}(4 · \text{ctgx}) + \frac{d}{dx}(12x^2) \)

\( y' = 4(-\frac{1}{²\text{sin}x}) + (12 · 2)x^{2-1} \)

\( y' = -\frac{4}{²\text{sin}x} + 24x \)

Ответ: \( y' = -\frac{4}{²\text{sin}x} + 24x \).

5) \( y = x^{16} + 4x^9 - 11x \)

\( y' = \frac{d}{dx}(x^{16}) + \frac{d}{dx}(4x^9) - \frac{d}{dx}(11x) \)

\( y' = 16x^{15} + (4 · 9)x^8 - 11 \)

\( y' = 16x^{15} + 36x^8 - 11 \)

Ответ: \( y' = 16x^{15} + 36x^8 - 11 \).

6) \( y = (x^4+3)(x^6-2) \)

Используем правило произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = x^4+3 \) и \( v = x^6-2 \).

Тогда \( u' = 4x^3 \) и \( v' = 6x^5 \).

\( y' = (4x^3)(x^6-2) + (x^4+3)(6x^5) \)

\( y' = 4x^9 - 8x^3 + 6x^9 + 18x^5 \)

\( y' = 10x^9 + 18x^5 - 8x^3 \)

Ответ: \( y' = 10x^9 + 18x^5 - 8x^3 \).

7) \( y = √{x} · (x^4 - 7) \)

Перепишем \( √{x} \) как \( x^{1/2} \).

\( y = x^{1/2}(x^4 - 7) \)

Используем правило произведения.

Пусть \( u = x^{1/2} \) и \( v = x^4 - 7 \).

Тогда \( u' = \frac{1}{2}x^{-1/2} \) и \( v' = 4x^3 \).

\( y' = (\frac{1}{2}x^{-1/2})(x^4 - 7) + (x^{1/2})(4x^3) \)

\( y' = \frac{1}{2}x^{7/2} - \frac{7}{2}x^{-1/2} + 4x^{7/2} \)

\( y' = (\frac{1}{2} + 4)x^{7/2} - \frac{7}{2}x^{-1/2} \)

\( y' = \frac{9}{2}x^{7/2} - \frac{7}{2}x^{-1/2} \)

\( y' = \frac{9}{2}x^3√{x} - \frac{7}{2√{x}} \)

Ответ: \( y' = \frac{9}{2}x^3√{x} - \frac{7}{2√{x}} \).

8) \( y = √{x} · \text{cosx} \)

Перепишем \( √{x} \) как \( x^{1/2} \).

\( y = x^{1/2} · \text{cosx} \)

Используем правило произведения.

Пусть \( u = x^{1/2} \) и \( v = \text{cosx} \).

Тогда \( u' = \frac{1}{2}x^{-1/2} \) и \( v' = -−−−− \).

\( y' = (\frac{1}{2}x^{-1/2})(−−−−) + (x^{1/2})(-−−−−) \)

\( y' = -\frac{−−−−}{2√{x}} - √{x}−−−− \)

Ответ: \( y' = -\frac{−−−−}{2√{x}} - √{x}−−−− \).

9) \( y = (6-\frac{1}{x}) · (7x+2) \)

Перепишем \( \frac{1}{x} \) как \( x^{-1} \).

\( y = (6-x^{-1})(7x+2) \)

Используем правило произведения.

Пусть \( u = 6-x^{-1} \) и \( v = 7x+2 \).

Тогда \( u' = -(-1)x^{-2} = x^{-2} \) и \( v' = 7 \).

\( y' = (x^{-2})(7x+2) + (6-x^{-1})(7) \)

\( y' = \frac{7x}{x^2} + \frac{2}{x^2} + 42 - 7x^{-1} \)

\( y' = \frac{7}{x} + \frac{2}{x^2} + 42 - \frac{7}{x} \)

\( y' = \frac{2}{x^2} + 42 \)

Ответ: \( y' = \frac{2}{x^2} + 42 \).

10) \( y = \frac{4x+7}{x-2} \)

Используем правило частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = 4x+7 \) и \( v = x-2 \).

Тогда \( u' = 4 \) и \( v' = 1 \).

\( y' = \frac{(4)(x-2) - (4x+7)(1)}{(x-2)^2} \)

\( y' = \frac{4x - 8 - 4x - 7}{(x-2)^2} \)

\( y' = \frac{-15}{(x-2)^2} \)

Ответ: \( y' = \frac{-15}{(x-2)^2} \).

11) \( y = \frac{x^3}{3x^2+1} \)

Используем правило частного.

Пусть \( u = x^3 \) и \( v = 3x^2+1 \).

Тогда \( u' = 3x^2 \) и \( v' = 6x \).

\( y' = \frac{(3x^2)(3x^2+1) - (x^3)(6x)}{(3x^2+1)^2} \)

\( y' = \frac{9x^4 + 3x^2 - 6x^4}{(3x^2+1)^2} \)

\( y' = \frac{3x^4 + 3x^2}{(3x^2+1)^2} \)

\( y' = \frac{3x^2(x^2+1)}{(3x^2+1)^2} \)

Ответ: \( y' = \frac{3x^2(x^2+1)}{(3x^2+1)^2} \).

12) \( y = \frac{−−−−}{x+5} \)

Используем правило частного.

Пусть \( u = −−−− \) и \( v = x+5 \).

Тогда \( u' = -−−−− \) и \( v' = 1 \).

\( y' = \frac{(-−−−−)(x+5) - (−−−−)(1)}{(x+5)^2} \)

\( y' = \frac{-−−−− x - 5−−−− + −−−−}{(x+5)^2} \)

\( y' = \frac{-−−−− x}{(x+5)^2} \)

Ответ: \( y' = \frac{-−−−− x}{(x+5)^2} \).