1. Задача для будущего ІТ-архитектора. В окружность радиуса 6 вписан квадрат. Середины его сторон соединены. Найдите периметр получившегося четырёхугольника.

Решение:

1. В окружность радиуса \( R = 6 \) вписан квадрат. Диагональ квадрата равна диаметру окружности: \( d = 2R = 2 × 6 = 12 \).

2. Сторона квадрата \( a \) находится по теореме Пифагора: \( a^2 + a^2 = d^2 \) => \( 2a^2 = 12^2 \) => \( 2a^2 = 144 \) => \( a^2 = 72 \) => \( a = √{72} = 6√{2} \).

3. Получившийся четырёхугольник — это квадрат, стороны которого равны расстоянию от центра окружности до середины стороны квадрата. Этот отрезок является катетом прямоугольного треугольника, где гипотенуза — радиус окружности \( R=6 \), а другой катет — половина стороны квадрата \( a/2 = 3√{2} \).

4. Сторона нового четырёхугольника \( s \) по теореме Пифагора: \( s^2 = R^2 - (a/2)^2 = 6^2 - (3√{2})^2 = 36 - (9 × 2) = 36 - 18 = 18 \). Следовательно, \( s = √{18} = 3√{2} \).

5. Периметр получившегося четырёхугольника равен \( P = 4s = 4 × 3√{2} = 12√{2} \).

Ответ: Периметр четырёхугольника равен \( 12√{2} \).