1) Задача. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, стороны которого равны 3 см, 4 см и 5 см.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем известные стороны прямоугольного треугольника: катеты AC = 4 см, BC = 3 см, и гипотенуза AB = 5 см.
2. Шаг 2: Вводим переменную x для обозначения отрезков касательных от вершины C до точек касания M и E. Таким образом, CM = CE = x.
3. Шаг 3: Используем свойство касательных, проведенных из одной точки. Отрезки касательных от вершины B равны BM = BK = 3 - x. Отрезки касательных от вершины A равны AE = AK = 4 - x.
4. Шаг 4: Сумма отрезков AK и KB должна быть равна длине гипотенузы AB. Составляем уравнение: AK + KB = AB, что дает (4 - x) + (3 - x) = 5.
5. Шаг 5: Решаем уравнение: 7 - 2x = 5, следовательно, 2x = 2, и x = 1 см.
6. Шаг 6: Так как CM = CE = x, то CM = CE = 1 см. В прямоугольном треугольнике, если радиус окружности равен одному из отрезков от вершины прямого угла до точки касания (в данном случае EO = OM = R, где O — центр окружности, M — точка касания на BC, E — точка касания на AC), то радиус равен этому отрезку. Поэтому, R = CM = CE = 1 см.

Ответ: R = 1 см