1. Задача. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD, ∠BAC = ∠CAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, ∠D = 60°.

Так как диагональ AC перпендикулярна CD, то в треугольнике ACD угол ACD равен 90°.

В треугольнике ACD:

\(\angle CAD=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ\).

По условию \(\angle BAC=\angle CAD=30^\circ\), поэтому \(\angle BAD=60^\circ\).

Треугольник ACD — прямоугольный с углами 30°, 60° и 90°, поэтому:

\(AD=2CD\), а \(AC=\sqrt3\,CD\).

Из подобия и свойств полученной трапеции:

\(AB=CD\), \(BC=\dfrac12CD\), \(AD=2CD\).

По формуле периметра:

\(AB+BC+CD+AD=20\),

\(CD+\dfrac12CD+CD+2CD=20\),

\(\dfrac92CD=20\),

\(CD=\dfrac{40}{9}\text{ см}\).

Тогда

\(AD=2CD=2\cdot\dfrac{40}{9}=\dfrac{80}{9}\text{ см}\).

Ответ: \(AD=\dfrac{80}{9}\) см.