1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем: a) $$\frac{1}{3^4}$$; б) $$\frac{1}{6}$$; в) $$\frac{1}{x^{10}}$$; г) $$\frac{1}{b}$$; д) $$\frac{1}{32}$$. 2. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем: a) $$a^{-5}$$; б) $$7^{-1}$$; в) $$a^{-11}$$; г) $$x^{-1}$$; д) $$(2y)^{-5}$$. 3. Вычислите: 1) a) $$2^{-3}$$; б) $$(-7)^{-2}$$; в) $$(-5)^{-1}$$; г) $$-3 \cdot (-3)^{-2}$$; 2) a) $$(\frac{1}{2})^{-1}$$; б) $$(\frac{3}{7})^{-2}$$; в) $$(0,2)^{-3}$$; г) $$(1\frac{1}{3})^{-4}$$; 3) a) $$6^{-1}+2^{-2}$$; б) $$10^0 - 1,2^{-1}$$; в) $$247 - 0,1^{-2}$$; г) $$25 - (1\frac{1}{7})^{-2}$$. 4. Представьте в виде дроби выражение: 1) a) $$6a^{-8}$$; б) $$3(xy)^{-1}$$; в) $$12(a-b)^{-2}$$; г) $$5x^2y^{-3}z^0$$; 2) a) $$x^{-1}+y^{-3}$$; б) $$a^0-a^{-2}$$; в) $$x^{-4}-y$$; г) $$ab^{-2}+a^{-1}b^3$$. 5. Преобразуйте в дробь выражение: 1) a) $$(a^{-2}-b^{-2})(a-b)^{-1}$$; б) $$(x^3-1)(1-x)^{-2}x^3$$; 2) a) $$(\frac{x}{y})^{-2}-(\frac{y}{x})^{-3}$$; б) $$(\frac{1}{a^{-1}}+\frac{1}{b^{-1}})(a-b)^{-1}$$.

Задание 1. Замена дроби степенью с целым отрицательным показателем

Чтобы заменить дробь степенью с целым отрицательным показателем, нужно использовать правило: \( \frac{1}{a^n} = a^{-n} \)

• а) \( \frac{1}{3^4} = 3^{-4} \)
• б) \( \frac{1}{6} = 6^{-1} \)
• в) \( \frac{1}{x^{10}} = x^{-10} \)
• г) \( \frac{1}{b} = b^{-1} \)
• д) \( \frac{1}{32} = 32^{-1} \)

Задание 2. Замена дробью степени с целым отрицательным показателем

Здесь мы используем правило, обратное предыдущему: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

• а) \( a^{-5} = \frac{1}{a^5} \)
• б) \( 7^{-1} = \frac{1}{7} \)
• в) \( a^{-11} = \frac{1}{a^{11}} \)
• г) \( x^{-1} = \frac{1}{x} \)
• д) \( (2y)^{-5} = \frac{1}{(2y)^5} \)

Задание 3. Вычисление

1. • а) \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)
   • б) \( (-7)^{-2} = \frac{1}{(-7)^2} = \frac{1}{49} \)
   • в) \( (-5)^{-1} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5} \)
   • г) \( -3 \cdot (-3)^{-2} = -3 \cdot \frac{1}{(-3)^2} = -3 \cdot \frac{1}{9} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3} \)
2. • а) \( (\frac{1}{2})^{-1} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^1} = 2 \)
   • б) \( (\frac{3}{7})^{-2} = (\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9} \)
   • в) \( (0,2)^{-3} = (\frac{2}{10})^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125 \)
   • г) \( (1\frac{1}{3})^{-4} = (\frac{4}{3})^{-4} = (\frac{3}{4})^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256} \)
3. • а) \( 6^{-1}+2^{-2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2^2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2+3}{12} = \frac{5}{12} \)
   • б) \( 10^0 - 1,2^{-1} = 1 - \frac{1}{1,2} = 1 - \frac{10}{12} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \)
   • в) \( 247 - 0,1^{-2} = 247 - (\frac{1}{10})^{-2} = 247 - 10^2 = 247 - 100 = 147 \)
   • г) \( 25 - (1\frac{1}{7})^{-2} = 25 - (\frac{8}{7})^{-2} = 25 - (\frac{7}{8})^2 = 25 - \frac{49}{64} = \frac{25 \cdot 64 - 49}{64} = \frac{1600 - 49}{64} = \frac{1551}{64} \)

Задание 4. Представление в виде дроби

1. • а) \( 6a^{-8} = \frac{6}{a^8} \)
   • б) \( 3(xy)^{-1} = \frac{3}{xy} \)
   • в) \( 12(a-b)^{-2} = \frac{12}{(a-b)^2} \)
   • г) \( 5x^2y^{-3}z^0 = 5x^2 \cdot \frac{1}{y^3} \cdot 1 = \frac{5x^2}{y^3} \)
2. • а) \( x^{-1}+y^{-3} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y^3} = \frac{y^3+x}{xy^3} \)
   • б) \( a^0-a^{-2} = 1 - \frac{1}{a^2} = \frac{a^2-1}{a^2} \)
   • в) \( x^{-4}-y = \frac{1}{x^4} - y = \frac{1-yx^4}{x^4} \)
   • г) \( ab^{-2}+a^{-1}b^3 = \frac{a}{b^2} + \frac{b^3}{a} = \frac{a^2+b^5}{ab^2} \)

Задание 5. Преобразование в дробь

1. • а) \( (a^{-2}-b^{-2})(a-b)^{-1} = (\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}) \frac{1}{a-b} = \frac{b^2-a^2}{a^2b^2} \frac{1}{a-b} = \frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2(a-b)} = \frac{-(a-b)(b+a)}{a^2b^2(a-b)} = -\frac{a+b}{a^2b^2} \)
   • б) \( (x^3-1)(1-x)^{-2}x^3 = (x^3-1) \frac{1}{(1-x)^2} x^3 = (x^3-1) \frac{1}{(-(x-1))^2} x^3 = (x^3-1) \frac{1}{(x-1)^2} x^3 = (x-1)(x^2+x+1) \frac{1}{(x-1)^2} x^3 = \frac{x^2+x+1}{(x-1)} x^3 = \frac{x^5+x^4+x^3}{x-1} \)
2. • а) \( (\frac{x}{y})^{-2}-(\frac{y}{x})^{-3} = (\frac{y}{x})^2 - (\frac{x}{y})^3 = \frac{y^2}{x^2} - \frac{x^3}{y^3} = \frac{y^5-x^5}{x^2y^3} \)
   • б) \( (\frac{1}{a^{-1}}+\frac{1}{b^{-1}})(a-b)^{-1} = (a+b) \frac{1}{a-b} = \frac{a+b}{a-b} \)