1. Заполните пропуски и докажите свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Дано: ΔABC, ∠ACB = 90°, ∠ABC = 30°. Доказать: AC = 1/2 AB. Доказательство: 1) Отметим на луче AC точку D так, что ∠ABD = ∠ABC. Соединим точки B и D (дополнительное построение). 2) ∠A = 90° - 30° = 60° (так как сумма углов треугольника равна 180°). ΔABC = ΔDBC (по второму признаку равенства треугольников). 3) ∠CBD + ∠CBA = 60° (из п. 2). 4) ∠D = ∠A = 60° (из п. 2 и определения точки D). AB = AD = BD (из п. 2 и 3). AC = 1/2 AD = 1/2 AB (из п. 4).

Решение:

1. Доказательство свойства прямоугольного треугольника (задание 128):

• Дано: ΔABC, ∠ACB = 90°, ∠ABC = 30°.
• Доказать: AC = 1/2 AB.
• Доказательство:
1. Отметим на луче AC точку D так, чтобы ∠ABD = ∠ABC. Соединим точки B и D (дополнительное построение).
2. ∠A = 90° - 30° = 60° (так как сумма углов треугольника равна 180°). ΔABC = ΔDBC (по второму признаку равенства треугольников, так как ∠A = ∠D = 60° и ∠ACB = ∠DCB = 90°).
3. ∠CBD + ∠CBA = 60° (из п. 2, так как ∠DBA = 30° и ∠CBA = 30°, значит 30° + 30° = 60°).
4. ∠D = ∠A = 60° (из п. 2 и определения точки D, так как ∠ABD = 30°, значит ∠D = 180° - 90° - 30° = 60°). AB = AD = BD (из п. 2 и 3, так как треугольник ABD равносторонний). AC = 1/2 AD = 1/2 AB (из п. 4, так как AC = CD, и AD = AC + CD = 2AC).
• Теорема доказана.

2. Восстановление схемы шагов доказательства (задание 129):