1. Заполните пропуски: T32. Запишите определения арифметического корня и корня n-й степени. T32. Перечислите свойства степени с рациональным показателем. Выполните: а) \(\sqrt{0.125\cdot0.064}-\sqrt{361}\); б) \(\frac{\sqrt[3]{125}\cdot\sqrt{144}}{2\sqrt{16}}\); в) \(\sqrt[3]{64}\cdot\sqrt[4]{27\cdot4}\).

В записи третьего подпункта корень четвёртой степени охватывает выражение \(27\cdot4\); трактую знак и границы корней именно так.

Определения. Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа \(a\) — неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Корень \(n\)-й степени из \(a\) — число \(b\), для которого \(b^n=a\); при чётном \(n\) в действительных числах рассматривают \(a\geq0\), а арифметический корень выбирают неотрицательным.

Свойства степени с рациональным показателем (для выражений, где степени определены):

\(a^r\cdot a^s=a^{r+s}\); \(a^r:a^s=a^{r-s}\), если \(a\ne0\); \((a^r)^s=a^{rs}\); \((ab)^r=a^rb^r\); \((a/b)^r=a^r/b^r\), если \(b\ne0\); \(a^0=1\), если \(a\ne0\); \(a^{-r}=1/a^r\), если \(a\ne0\). Для \(r=m/n\) положительная степень задаётся как \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\) в области определения.

а) \(\sqrt{0.125\cdot0.064}-\sqrt{361}=\sqrt{0.008}-19\approx0.0894427-19\approx-18.9105573\).

б) \(\frac{\sqrt[3]{125}\cdot\sqrt{144}}{2\sqrt{16}}=\frac{5\cdot12}{2\cdot4}=\frac{60}{8}=7.5\).

в) \(\sqrt[3]{64}\cdot\sqrt[4]{27\cdot4}=4\cdot\sqrt[4]{108}\approx12.937\).

Если выражения в условии содержат другие дробные показатели, их точные записи на фотографии неразборчивы; для надёжного выполнения этой части нужен более чёткий снимок.

Ответ: а) примерно \(-18.9105573\); б) \(7.5\); в) \(4\sqrt[4]{108}\approx12.937\).