1) Заполните пропуски в двух способах доказательства формулы для отрезка, соединяющего середины оснований прямоугольной трапеции: через точку пересечения продолжений боковых сторон и через параллельные прямые.

В первом способе: точки T, P, Q лежат на одной прямой. Угол ∠ATD прямой по условию; поэтому треугольники TBC и TAD прямоугольные. Так как P — середина гипотенузы BC, TP — медиана треугольника TBC; так как Q — середина гипотенузы AD, TQ — медиана треугольника TAD. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Поэтому TP = a/2, TQ = b/2, и PQ = TQ − TP = (b − a)/2.

Во втором способе: четырёхугольники ABPE и FPCD — параллелограммы, поскольку их противоположные стороны попарно параллельны. Угол EPF прямой, поскольку EP ∥ AB, PF ∥ CD и AB ⟂ CD. Из свойств параллелограмма AE = BP = a/2 и FD = PC = a/2. Тогда EQ = AQ − AE = b/2 − a/2 = (b − a)/2; аналогично QF = DF − DQ = (b − a)/2. В прямоугольном треугольнике EPF отрезок PQ — медиана к гипотенузе EF, поэтому PQ = EF/2 = EQ = (b − a)/2.

Ответ: PQ = (b − a)/2.