В первом пропуске нужно вставить вводное слово, которое относится к речи говорящего. Во втором пропуске — слово, которое не является вводным и относится к глаголу «заведён». Правильное написание — «по-моему» (вводное слово) и «по моему» (местоимение с предлогом).
Ответ: по-моему, по моему.