1. Жәшікте 5 қара, 4 қызыл және 3 ақ шарлар бар. a) Жәшіктен бір шар алынды. Алынған шардың қызыл болуының ықтималдығын табыңыз. b) Жәшіктен бірінен соң бірі 3 шар алынды. Бірақ алынған шарлар келесі шарды алғаннан бұрын, қайтадан орнына салынып отырды. Бірінші алынған шардың қара, екінші алынған шардың қызыл, үшінші алынған шардың ақ болу ықтималдығын есептеңіз. 2. Радиустары 2 см және 4 см болатын екі концентрлі (центрлері беттескен) дөңгелектер берілген. Үлкен дөңгелек ішінен кездейсоқ белгіленген нүктенің: a) кіші дөңгелекке; b) осы шеңберлермен шектелген сақинаға тиісті болу ықтималдығы кандай? 3. Төменде берілген оқиғалардың қайсысы: мүмкін емес; ақиқат; кездейсоқ оқиға болады? a) жүрілген жолды табу үшін жылдамдықты уақытқа көбейтеді. b) бала өз туған күнін 30 ақпанда қарсы алады. c) асықты лақтырғанда оның әр жағымен түсуі?

Міне, есептердің шешімі:

№1 есеп

а)

Барлығы шарлар:

\[ 5 + 4 + 3 = 12 \]

Қызыл шарлар:

\[ 4 \]

Қызыл шардың шығу ықтималдығы:

\[ P(\text{қызыл}) = \frac{\text{қызыл шарлардың саны}}{\text{барлық шарлардың саны}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

б)

Бұл жағдайда шарлар орнына салынып отыратындықтан, әрбір алынған шардың ықтималдығы бөлек есептеледі.

Барлығы шарлар = 12.

Бірінші шардың қара болу ықтималдығы:

\[ P(\text{қара}) = \frac{5}{12} \]

Екінші шардың қызыл болу ықтималдығы:

\[ P(\text{қызыл}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Үшінші шардың ақ болу ықтималдығы:

\[ P(\text{ақ}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]

Бұл үш тәуелсіз оқиғаның бір мезгілде орындалу ықтималдығын табу үшін, олардың ықтималдықтарын көбейту керек:

\[ P(\text{қара, қызыл, ақ}) = P(\text{қара}) \times P(\text{қызыл}) \times P(\text{ақ}) = \frac{5}{12} \times \frac{4}{12} \times \frac{3}{12} = \frac{60}{1728} = \frac{5}{144} \]

№2 есеп

а)

Үлкен дөңгелектің ауданы:

\[ A_\text{үлкен} = \pi R^2 = \pi (4 \text{ см})^2 = 16\pi \text{ см}^2 \]

Кіші дөңгелектің ауданы:

\[ A_\text{кіші} = \pi r^2 = \pi (2 \text{ см})^2 = 4\pi \text{ см}^2 \]

Кіші дөңгелек ішінен кездейсоқ белгіленген нүктенің кіші дөңгелекке тию ықтималдығы:

\[ P(\text{кіші дөңгелекке}) = \frac{A_\text{кіші}}{A_\text{үлкен}} = \frac{4\pi}{16\pi} = \frac{1}{4} \]

б)

Сақинаның ауданы:

\[ A_\text{сақина} = A_\text{үлкен} - A_\text{кіші} = 16\pi - 4\pi = 12\pi \text{ см}^2 \]

Осы шеңберлермен шектелген сақинаға тиісті болу ықтималдығы:

\[ P(\text{сақинаға}) = \frac{A_\text{сақина}}{A_\text{үлкен}} = \frac{12\pi}{16\pi} = \frac{3}{4} \]

№3 есеп

Төменде берілген оқиғалардың сипаттамасы:

а) жүрілген жолды табу үшін жылдамдықты уақытқа көбейтеді.

Бұл — ақиқат оқиға, себебі жылдамдықты уақытқа көбейту арқылы жүрілген жолды табу формуласы дұрыс.

б) бала өз туған күнін 30 ақпанда қарсы алады.

Бұл — мүмкін емес оқиға, себебі ақпан айында 30 күн болмайды (30 ақпан деген күн жоқ).

с) асықты лақтырғанда оның әр жағымен түсуі?

Бұл — кездейсоқ оқиға, себебі асықтың қай жағымен түсетінін алдын ала болжау мүмкін емес, бірақ оның түсетін жақтары белгілі.