10. (1 балл) Решите неравенство: log4 (-3 + x) > 3. В ответе запишите наименьший целый положительный корень.

Решение:

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

\( -3 + x > 0 \)

\( x > 3 \)

2. Преобразуем неравенство, представив правую часть как логарифм с основанием 4:

\( 3 = \log_4 (4^3) = \log_4 64 \)

3. Теперь неравенство имеет вид:

\( \log_4 (-3 + x) > \log_4 64 \)

4. Так как основание логарифма \( 4 > 1 \), функция возрастающая, поэтому можем приравнять аргументы, сохранив знак неравенства:

\( -3 + x > 64 \)

\( x > 64 + 3 \)

\( x > 67 \)

5. Учитывая ОДЗ \( x > 3 \) и полученное решение \( x > 67 \), общее решение неравенства — \( x > 67 \).

6. Наименьший целый положительный корень, удовлетворяющий условию \( x > 67 \), — это 68.

Ответ: 68