Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
10.1. Точка А находится внутри круга радиусом 6 и делит проходящую через нее хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найти расстояние от точки А до центра окружности.
Ответ:
Краткая запись:
- Радиус круга (R): 6
- Хорда разделена на отрезки: 5 и 4
- Найти: Расстояние от точки А до центра (d) — ?
Краткое пояснение: Для решения этой задачи используем теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд (или свойство хорды, пересекающей другую хорду). Если хорда проходит через точку А, и точка А делит ее на отрезки 5 и 4, то длина хорды равна 5 + 4 = 9. Также, если мы проведем другую хорду через центр окружности (диаметр), то точка А будет делить эту хорду на отрезки, сумма которых равна диаметру (12). Однако, более применима теорема о двух пересекающихся хордах: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. В данном случае, если одна хорда — диаметр (12), то она делится точкой А на отрезки (6-d) и (6+d), где d — расстояние от точки А до центра. Произведение отрезков: \( (6-d)(6+d) \). По теореме, \( 5 · 4 = (6-d)(6+d) \).
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Применяем теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд. Пусть одна хорда — это диаметр, проходящий через точку А. Длина радиуса равна 6, значит, диаметр равен 12. Точка А делит этот диаметр на два отрезка: \( 6 - d \) и \( 6 + d \), где \( d \) — искомое расстояние от точки А до центра.
- Шаг 2: Другая хорда проходит через точку А и разделена ею на отрезки длиной 5 и 4.
- Шаг 3: По теореме, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:
\( (6 - d)(6 + d) = 5 · 4 \) - Шаг 4: Раскрываем скобки в левой части уравнения (разность квадратов):
\( 6^{2} - d^{2} = 20 \)
\( 36 - d^{2} = 20 \) - Шаг 5: Находим \( d^{2} \):
\( d^{2} = 36 - 20 \)
\( d^{2} = 16 \) - Шаг 6: Извлекаем квадратный корень, чтобы найти \( d \):
\( d = √{16} \)
\( d = 4 \)
Ответ: 4
