10) 1) Запишите формулы половинного аргумента. 2) Найдите: а) cos(α/2), если cos α = 1/3, 3π/2 < α < 2π; б) tg(α/2), если sin α = −2/3, π < α < 3π/2; в) sin(α/2), если sin α = −3/7, π < α < 3π/2; г) ctg(α/2), если cos α = −2/5, 3π/2 < α < 2π.

1) Формулы половинного аргумента:

\(\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\), \(\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\).

\( g\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\), \(\ctg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\). Знак выбирают по четверти, в которой находится \(\alpha/2\).

2а) Так как \(3\pi/2<\alpha<2\pi\), то \(3\pi/4<\alpha/2<\pi\), поэтому косинус отрицателен:

\(\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=-\sqrt{\frac{1+1/3}{2}}=-\sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{\sqrt6}{3}\).

2б) Угол \(\alpha\) находится в III четверти, поэтому \(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{\sqrt5}{3}\). Угол \(\alpha/2\) находится во II четверти, где тангенс отрицателен:

\( g\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{-2/3}{1-\sqrt5/3}=-\frac{3+\sqrt5}{2}\).

2в) В III четверти \(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{2\sqrt{10}}{7}\). Угол \(\alpha/2\) находится во II четверти, где синус положителен:

\(\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{7+2\sqrt{10}}{14}}\).

2г) Условие противоречиво: при \(3\pi/2<\alpha<2\pi\) угол находится в IV четверти, где \(\cos\alpha>0\), а в условии задано \(\cos\alpha=-2/5\). Поэтому такого \(\alpha\) не существует, и значение найти нельзя.

Ответ: 2а) \(-\frac{\sqrt6}{3}\); 2б) \(-\frac{3+\sqrt5}{2}\); 2в) \(\sqrt{\frac{7+2\sqrt{10}}{14}}\); 2г) решений нет из-за противоречия в условии.