10.171. Основания трапеции равны а и b (a > b), углы при большем основании равны pi/6 и pi/4. Найти площадь трапеции.

Решение:

Пусть \(a\) — большее основание, \(b\) — меньшее основание трапеции. Углы при большем основании равны \( \alpha = \frac{\pi}{6} \) и \( \beta = \frac{\pi}{4} \).

Высоту трапеции \(h\) можно выразить через разность оснований и тангенсы углов при большем основании:

Из левого нижнего угла проведем высоту, она отсечет отрезок \(x = h \mathrm{ctg} \alpha\).

Из правого нижнего угла проведем высоту, она отсечет отрезок \(y = h \mathrm{ctg} \beta\).

Разность оснований \(a - b = x + y\).

\(a - b = h \mathrm{ctg} \alpha + h \mathrm{ctg} \beta = h (\mathrm{ctg} \alpha + \mathrm{ctg} \beta)\)

Выразим высоту \(h\):

\[ h = \frac{a - b}{\mathrm{ctg} \alpha + \mathrm{ctg} \beta} \]\[ h = \frac{a - b}{\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{6}) + \mathrm{ctg}(\frac{\pi}{4})} \]\[ h = \frac{a - b}{\sqrt{3} + 1} \]\[ h = \frac{(a - b)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \]\[ h = \frac{(a - b)(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} \]\[ h = \frac{(a - b)(\sqrt{3} - 1)}{2} \]

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{a + b}{2} h \]\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot \frac{(a - b)(\sqrt{3} - 1)}{2} \]\[ S = \frac{(a^2 - b^2)(\sqrt{3} - 1)}{4} \]

Ответ: S = \(\frac{(a^2 - b^2)(\sqrt{3} - 1)}{4}\).