10. 2\(\sin\)^2\(\left\)\(\frac{3\pi}{2}+x\right\) = \(\cos\) x

Решение:

Воспользуемся формулой приведения для синуса:

\( \sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{2}+x\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = -\cos x \)

Подставим это в исходное уравнение:

\[ 2(-\cos x)^2 = \cos x \]

\[ 2\cos^2 x = \cos x \]

\[ 2\cos^2 x - \cos x = 0 \]

\[ \cos x (2\cos x - 1) = 0 \]

Это уравнение распадается на два:

1. \( \cos x = 0 \)
2. \( 2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \)

Решения первого уравнения: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Решения второго уравнения: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности двух серий решений.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) или \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).