10.3. Упростите выражение: 1) \(\left(\frac{15}{x-7}-x-7\right)\cdot\frac{7-x}{x^2-16x+64}\); 2) \(\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{a}{b^2}\right)\cdot\frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{2}{b-a}\); 3) \(\left(\frac{a}{a-1}-\frac{a}{a+1}-\frac{a^2+1}{1-a^2}\right):\frac{a^2+a}{(a-1)^2}\); 4) \(\left(\frac{x+2y}{x-2y}-\frac{x-2y}{x+2y}-\frac{16y^2}{x^2-4y^2}\right):\frac{4y}{x+2y}\); 5) \(\left(\frac{3a-8}{a^2-2a+4}+\frac{1}{a+2}-\frac{4a-28}{a^3+8}\right)\cdot\frac{a^2-4}{4}\).

1) Преобразуем выражение в скобках и разложим знаменатель второй дроби:

\(\left(\frac{15}{x-7}-x-7\right)\cdot\frac{7-x}{(x-8)^2}=\frac{15-(x+7)(x-7)}{x-7}\cdot\frac{7-x}{(x-8)^2}\).

\(=\frac{64-x^2}{x-7}\cdot\frac{-(x-7)}{(x-8)^2}=\frac{x+8}{x-8}\).

Ограничения: \(x\ne7,8\).

2) Сложим дроби в скобках:

\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{a}{b^2}=\frac{(a+b)^2}{ab^2}\).

Умножим дроби и используем \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), затем учтём, что \(b-a=-(a-b)\):

\(\frac{(a+b)^2}{ab^2}\cdot\frac{ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{2}{b-a}=\frac{a+b}{b(a-b)}-\frac{2}{a-b}=\frac{1}{b}\).

Ограничения: \(a\ne0\), \(b\ne0\), \(a\ne b\), \(a\ne-b\).

3) Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{a}{a-1}-\frac{a}{a+1}-\frac{a^2+1}{1-a^2}=\frac{2a+a^2+1}{a^2-1}=\frac{a+1}{a-1}\).

Разделим на вторую дробь, умножив на обратную:

\(\frac{a+1}{a-1}:\frac{a(a+1)}{(a-1)^2}=\frac{a-1}{a}\).

Ограничения: \(a\ne-1,0,1\).

4) Приведём разность в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{(x+2y)^2-(x-2y)^2-16y^2}{x^2-4y^2}=\frac{8y(x-2y)}{(x-2y)(x+2y)}=\frac{8y}{x+2y}\).

Тогда \(\frac{8y}{x+2y}:\frac{4y}{x+2y}=2\).

Ограничения: \(y\ne0\), \(x\ne2y\), \(x\ne-2y\).

5) Разложим сумму в скобках на общий знаменатель, используя \(a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4)\):

\(\frac{(3a-8)(a+2)+(a^2-2a+4)-(4a-28)}{(a+2)(a^2-2a+4)}=\frac{4(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}=\frac{4}{a+2}\).

Умножим на оставшуюся дробь:

\(\frac{4}{a+2}\cdot\frac{(a-2)(a+2)}{4}=a-2\).

Ограничение: \(a\ne-2\).

Ответ: 1) \(\frac{x+8}{x-8}\); 2) \(\frac{1}{b}\); 3) \(\frac{a-1}{a}\); 4) \(2\); 5) \(a-2\).