10.72. Методом интервалов решите неравенства: a) (x²-16)(x+17) > 0; б) (x²-9)(x²-1) ≥ 0; в) (x²+17)(x-6)(x+2) < 0; г) (2x²+1)x(x-4) ≥ 0; д) (x-1)²(x-24) < 0; е) (x+7)(x-4)²(x-21) > 0. ж) \(\frac{5x-6}{x+3} < 2\); 3) \(\frac{3-2x}{4+3x} > 1\); и) \(\frac{x^2-5x+6}{x+2} > 0\); к) \(\frac{x^2-5x+6}{x-2} > 0\); л) \(\frac{x^2-3x-18}{13x-x^2-42} \geq 0\); м) \(\frac{x^2-1}{(x-3)(x+2)} < 1\); н) \(\frac{(x^2+1)(x-8)}{x^2+4x-5} \leq 0\); о) \(\frac{x^3-x^2+x-1}{x+8} \leq 0\); п) \(\frac{(2x^2-9x-5)(x+2)}{(2x+1)(2x^2-5x-3)} \geq 0\); p) \(\frac{(x^3+27)(4x-5-3x^2)}{2x-1} > 0\); c) \(\frac{(x-3)^3(x^2-2x+1)}{4+3x-x^2} < 0\);

Question

Вопрос:

10.72. Методом интервалов решите неравенства: a) (x²-16)(x+17) > 0; б) (x²-9)(x²-1) ≥ 0; в) (x²+17)(x-6)(x+2) < 0; г) (2x²+1)x(x-4) ≥ 0; д) (x-1)²(x-24) < 0; е) (x+7)(x-4)²(x-21) > 0. ж) \(\frac{5x-6}{x+3} < 2\); 3) \(\frac{3-2x}{4+3x} > 1\); и) \(\frac{x^2-5x+6}{x+2} > 0\); к) \(\frac{x^2-5x+6}{x-2} > 0\); л) \(\frac{x^2-3x-18}{13x-x^2-42} \geq 0\); м) \(\frac{x^2-1}{(x-3)(x+2)} < 1\); н) \(\frac{(x^2+1)(x-8)}{x^2+4x-5} \leq 0\); о) \(\frac{x^3-x^2+x-1}{x+8} \leq 0\); п) \(\frac{(2x^2-9x-5)(x+2)}{(2x+1)(2x^2-5x-3)} \geq 0\); p) \(\frac{(x^3+27)(4x-5-3x^2)}{2x-1} > 0\); c) \(\frac{(x-3)^3(x^2-2x+1)}{4+3x-x^2} < 0\);

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

а) \( (x^2-16)(x+17) > 0 \)

Разложим на множители: \( (x-4)(x+4)(x+17) > 0 \).

Корни: \( x = 4, x = -4, x = -17 \).

Расставим знаки на интервалах:

\( (-\infty, -17) \): (–)(–)(–) = –
\( (-17, -4) \): (–)(–)(+) = +
\( (-4, 4) \): (–)(+)(+) = –
\( (4, +\infty) \): (+)(+)(+) = +

Решение: \( x \in (-17, -4) \cup (4, +\infty) \).

б) \( (x^2-9)(x^2-1) \geq 0 \)

Разложим на множители: \( (x-3)(x+3)(x-1)(x+1) \geq 0 \).

Корни: \( x = 3, x = -3, x = 1, x = -1 \).

Расставим знаки на интервалах:

\( (-\infty, -3) \): (–)(–)(–)(–) = +
\( (-3, -1) \): (–)(+)(–)(–) = –
\( (-1, 1) \): (–)(+)(–)(+) = +
\( (1, 3) \): (–)(+)(+)(+) = –
\( (3, +\infty) \): (+)(+)(+)(+) = +

Решение: \( x \in (-\infty, -3] \cup [-1, 1] \cup [3, +\infty) \).

в) \( (x^2+17)(x-6)(x+2) < 0 \)

Множитель \( x^2+17 \) всегда положителен.

Решаем \( (x-6)(x+2) < 0 \).

Корни: \( x = 6, x = -2 \).

Интервалы:

\( (-\infty, -2) \): (–)(–) = +
\( (-2, 6) \): (–)(+) = –
\( (6, +\infty) \): (+)(+) = +

Решение: \( x \in (-2, 6) \).

г) \( (2x^2+1)x(x-4) \geq 0 \)

Множитель \( 2x^2+1 \) всегда положителен.

Решаем \( x(x-4) \geq 0 \).

Корни: \( x = 0, x = 4 \).

Интервалы:

\( (-\infty, 0) \): (–)(–) = +
\( (0, 4) \): (–)(+) = –
\( (4, +\infty) \): (+)(+) = +

Решение: \( x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty) \).

д) \( (x-1)^2(x-24) < 0 \)

Множитель \( (x-1)^2 \) всегда неотрицателен. Он равен нулю при \( x=1 \).

При \( x \neq 1 \), неравенство равносильно \( x-24 < 0 \), то есть \( x < 24 \).

Так как \( x \neq 1 \), решение: \( x \in (-\infty, 1) \cup (1, 24) \).

е) \( (x+7)(x-4)^2(x-21) > 0 \)

Множитель \( (x-4)^2 \) всегда неотрицателен. Он равен нулю при \( x=4 \).

При \( x \neq 4 \), неравенство равносильно \( (x+7)(x-21) > 0 \).

Корни: \( x = -7, x = 21 \).

Интервалы для \( (x+7)(x-21) > 0 \): \( x \in (-\infty, -7) \cup (21, +\infty) \).

Учитывая \( x \neq 4 \), решение: \( x \in (-\infty, -7) \cup (21, +\infty) \).

ж) \( \frac{5x-6}{x+3} < 2 \)

Перенесём всё в левую часть: \( \frac{5x-6}{x+3} - 2 < 0 \).

Приведём к общему знаменателю: \( \frac{5x-6 - 2(x+3)}{x+3} < 0 \).

Упростим: \( \frac{5x-6-2x-6}{x+3} < 0 \) → \( \frac{3x-12}{x+3} < 0 \) → \( \frac{3(x-4)}{x+3} < 0 \).

Корни числителя и знаменателя: \( x = 4, x = -3 \).

Интервалы:

\( (-\infty, -3) \): (–)/(–) = +
\( (-3, 4) \): (–)/(+) = –
\( (4, +\infty) \): (+)/(+) = +

Решение: \( x \in (-3, 4) \).

з) \( \frac{3-2x}{4+3x} > 1 \)

Перенесём всё в левую часть: \( \frac{3-2x}{4+3x} - 1 > 0 \).

Приведём к общему знаменателю: \( \frac{3-2x - (4+3x)}{4+3x} > 0 \).

Упростим: \( \frac{3-2x-4-3x}{4+3x} > 0 \) → \( \frac{-1-5x}{4+3x} > 0 \) → \( \frac{-(1+5x)}{4+3x} > 0 \) → \( \frac{1+5x}{4+3x} < 0 \).

Корни числителя и знаменателя: \( x = -1/5, x = -4/3 \).

Интервалы:

\( (-\infty, -4/3) \): (–)/(–) = +
\( (-4/3, -1/5) \): (–)/(+) = –
\( (-1/5, +\infty) \): (+)/(+) = +

Решение: \( x \in (-4/3, -1/5) \).

и) \( \frac{x^2-5x+6}{x+2} > 0 \)

Разложим числитель: \( \frac{(x-2)(x-3)}{x+2} > 0 \).

Корни числителя и знаменателя: \( x = 2, x = 3, x = -2 \).

Интервалы:

\( (-\infty, -2) \): (–)(–)/(–) = –
\( (-2, 2) \): (–)(–)/(+) = +
\( (2, 3) \): (–)(+)/(+) = –
\( (3, +\infty) \): (+)(+)/(+) = +

Решение: \( x \in (-2, 2) \cup (3, +\infty) \).

к) \( \frac{x^2-5x+6}{x-2} > 0 \)

Разложим числитель: \( \frac{(x-2)(x-3)}{x-2} > 0 \).

Сократим \( (x-2) \), при условии \( x \neq 2 \).

Решаем \( x-3 > 0 \), при \( x \neq 2 \).

\( x > 3 \), при \( x \neq 2 \).

Решение: \( x \in (3, +\infty) \).

л) \( \frac{x^2-3x-18}{13x-x^2-42} \geq 0 \)

Разложим числитель: \( x^2-3x-18 = (x-6)(x+3) \).

Разложим знаменатель: \( -x^2+13x-42 = -(x^2-13x+42) = -(x-6)(x-7) \).

Неравенство: \( \frac{(x-6)(x+3)}{-(x-6)(x-7)} \geq 0 \).

Сократим \( (x-6) \), при условии \( x \neq 6 \).

Получаем: \( \frac{x+3}{-(x-7)} \geq 0 \) → \( \frac{x+3}{x-7} \leq 0 \) (при \( x \neq 6 \)).

Корни числителя и знаменателя: \( x = -3, x = 7 \).

Интервалы для \( \frac{x+3}{x-7} \leq 0 \): \( x \in [-3, 7) \).

Учитывая \( x \neq 6 \) и \( x \neq 7 \), решение: \( x \in [-3, 6) \cup (6, 7) \).

м) \( \frac{x^2-1}{(x-3)(x+2)} < 1 \)

Перенесём всё в левую часть: \( \frac{x^2-1}{(x-3)(x+2)} - 1 < 0 \).

Приведём к общему знаменателю: \( \frac{x^2-1 - (x-3)(x+2)}{(x-3)(x+2)} < 0 \).

Упростим числитель: \( x^2-1 - (x^2+2x-3x-6) = x^2-1 - (x^2-x-6) = x^2-1-x^2+x+6 = x+5 \).

Получаем: \( \frac{x+5}{(x-3)(x+2)} < 0 \).

Корни числителя и знаменателя: \( x = -5, x = 3, x = -2 \).

Интервалы:

\( (-\infty, -5) \): (–)/(–)(–) = –
\( (-5, -2) \): (+)/(–)(–) = +
\( (-2, 3) \): (+)/(–)(+) = –
\( (3, +\infty) \): (+)/(+)(+) = +

Решение: \( x \in (-\infty, -5) \cup (-2, 3) \).

н) \( \frac{(x^2+1)(x-8)}{x^2+4x-5} \leq 0 \)

Разложим знаменатель: \( x^2+4x-5 = (x+5)(x-1) \).

Множитель \( x^2+1 \) всегда положителен.

Неравенство: \( \frac{x-8}{(x+5)(x-1)} \leq 0 \).

Корни числителя и знаменателя: \( x = 8, x = -5, x = 1 \).

Интервалы:

\( (-\infty, -5) \): (–)/(–)(–) = –
\( (-5, 1) \): (–)/(+)(–) = +
\( (1, 8) \): (–)/(+)(+) = –
\( (8, +\infty) \): (+)/(+)(+) = +

Решение: \( x \in (-\infty, -5) \cup (1, 8] \).

о) \( \frac{x^3-x^2+x-1}{x+8} \leq 0 \)

Разложим числитель: \( x^3-x^2+x-1 = x^2(x-1) + 1(x-1) = (x^2+1)(x-1) \).

Множитель \( x^2+1 \) всегда положителен.

Неравенство: \( \frac{x-1}{x+8} \leq 0 \).

Корни числителя и знаменателя: \( x = 1, x = -8 \).

Интервалы:

\( (-\infty, -8) \): (–)/(–) = +
\( (-8, 1) \): (–)/(+) = –
\( (1, +\infty) \): (+)/(+) = +

Решение: \( x \in (-8, 1] \).

п) \( \frac{(2x^2-9x-5)(x+2)}{(2x+1)(2x^2-5x-3)} \geq 0 \)

Разложим квадратные трёхчлены:

\( 2x^2-9x-5 = 2(x^2 - 4.5x - 2.5) \). Корни: \( x = \frac{4.5 20.25 + 10}{2} = \frac{4.5 5.5}{2} \), \( x_1 = 5, x_2 = -1/2 \). Значит, \( 2x^2-9x-5 = 2(x-5)(x+1/2) = (x-5)(2x+1) \).

\( 2x^2-5x-3 = 2(x^2 - 2.5x - 1.5) \). Корни: \( x = \frac{2.5 6.25 + 6}{2} = \frac{2.5 3.5}{2} \), \( x_1 = 3, x_2 = -1/2 \). Значит, \( 2x^2-5x-3 = 2(x-3)(x+1/2) = (x-3)(2x+1) \).

Неравенство: \( \frac{(x-5)(2x+1)(x+2)}{(2x+1)(x-3)(2x+1)} \geq 0 \).

Сокращаем \( (2x+1) \) (при \( x \neq -1/2 \)) и одно \( (2x+1) \) в знаменателе:

\( \frac{(x-5)(x+2)}{(x-3)(2x+1)} \geq 0 \).

Корни: \( x = 5, x = -2, x = 3, x = -1/2 \).

Интервалы:

\( (-\infty, -2] \): (–)(+)/(–)(–) = +
\( [-2, -1/2) \): (+)(+)/(–)(–) = +
\( (-1/2, 3) \): (+)(+)/(–)(+) = –
\( (3, 5] \): (+)(+)/(+)(+) = +
\( (5, +\infty) \): (+)(+)/(+)(+) = +

Решение: \( x \in (-\infty, -2] \cup [-2, -1/2) \cup (3, 5] \) = \( x \in (-\infty, -1/2) \cup (3, 5] \).

p) \( \frac{(x^3+27)(4x-5-3x^2)}{2x-1} > 0 \)

Разложим \( x^3+27 = (x+3)(x^2-3x+9) \). \( x^2-3x+9 \) имеет отрицательный дискриминант \( D = 9 - 4 9 = -27 < 0 \) и старший коэффициент положительный, поэтому всегда положителен.

Разложим \( -3x^2+4x-5 = -(3x^2-4x+5) \). Дискриминант \( D = 16 - 4 3 5 = 16 - 60 = -44 < 0 \) и старший коэффициент отрицательный, поэтому всегда отрицателен.

Неравенство: \( \frac{(x+3)(-(3x^2-4x+5))}{2x-1} > 0 \).

Так как \( -(3x^2-4x+5) \) всегда отрицателен, а \( 2x-1 \) может быть любым, упростим:

\( \frac{x+3}{2x-1} < 0 \).

Корни числителя и знаменателя: \( x = -3, x = 1/2 \).

Интервалы:

\( (-\infty, -3) \): (–)/(–) = +
\( (-3, 1/2) \): (+)/(–) = –
\( (1/2, +\infty) \): (+)/(+) = +

Решение: \( x \in (-3, 1/2) \).

c) \( \frac{(x-3)^3(x^2-2x+1)}{4+3x-x^2} < 0 \)

Разложим \( x^2-2x+1 = (x-1)^2 \).

Знаменатель: \( 4+3x-x^2 = -(x^2-3x-4) = -(x-4)(x+1) \).

Неравенство: \( \frac{(x-3)^3(x-1)^2}{-(x-4)(x+1)} < 0 \).

\( (x-1)^2 \) всегда неотрицателен. \( -(x-4)(x+1) \) имеет корни \( x=4, x=-1 \).

При \( x \neq 1 \), неравенство равносильно \( \frac{(x-3)^3}{-(x-4)(x+1)} < 0 \) → \( \frac{(x-3)^3}{(x-4)(x+1)} > 0 \).

Корни: \( x = 3, x = 4, x = -1 \).

Интервалы:

\( (-\infty, -1) \): (–)/(–)(–) = –
\( (-1, 3) \): (–)/(–)(+) = +
\( (3, 4) \): (+)/(–)(+) = –
\( (4, +\infty) \): (+)/(+)(+) = +

Решение (при \( x \neq 1 \)): \( x \in (-1, 3) \cup (4, +\infty) \). Учитывая \( x \neq 1 \), решение остается прежним.

Ответ:

а) \( x \in (-17, -4) \cup (4, +\infty) \)

б) \( x \in (-\infty, -3] \cup [-1, 1] \cup [3, +\infty) \)

в) \( x \in (-2, 6) \)

г) \( x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty) \)

д) \( x \in (-\infty, 1) \cup (1, 24) \)

е) \( x \in (-\infty, -7) \cup (21, +\infty) \)

ж) \( x \in (-3, 4) \)

з) \( x \in (-4/3, -1/5) \)

и) \( x \in (-2, 2) \cup (3, +\infty) \)

к) \( x \in (3, +\infty) \)

л) \( x \in [-3, 6) \cup (6, 7) \)

м) \( x \in (-\infty, -5) \cup (-2, 3) \)

н) \( x \in (-\infty, -5) \cup (1, 8] \)

о) \( x \in (-8, 1] \)

п) \( x \in (-\infty, -1/2) \cup (3, 5] \)

p) \( x \in (-3, 1/2) \)

c) \( x \in (-1, 3) \cup (4, +\infty) \)