10.73. Решите неравенства, содержащие переменные под знаком модуля: a) |2x - 4| ≤ 1; б) |2x + 3| ≥ 1; в) |x - 5| - 7 ≥ 0; г) |2x - 1| < |4x + 1|; д) |2x + 3| < |3x - 1|; е) |1 - 3x| - |2x + 3| ≥ 0; ж) x² + 2|x| ≤ 63; з) x² + |5x + 6| > 0;\(\nu\)) |5x² - 2x + 1| < 1; к) |x - 4| + |x + 4| ≤ 10; л) |x + 2| + |5x + 2| > 3x + 4; м) |x - 1| + |2 - x| > 3 + x; n) |x + 2| / |2x - 3| < 3; o) |2x - 3| / |x - 1| ≥ 2; n) x² - 7|x| + 10 / x² - 6|x| + 9 < 0; p) x² - |x| - 12 / x - 3 ≥ 2x;

Решение:

а) \( |2x - 4| \le 1 \)
-1 \(\le\) 2x - 4 \(\le\) 1
3 \(\le\) 2x \(\le\) 5
1.5 \(\le\) x \(\le\) 2.5
Ответ: \( x \in [1.5; 2.5] \).

б) \( |2x + 3| \ge 1 \)
\( 2x + 3 \ge 1 \) или \( 2x + 3 \le -1 \)
\( 2x \ge -2 \) или \( 2x \le -4 \)
\( x \ge -1 \) или \( x \le -2 \)
Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup [-1; +\infty) \).

в) \( |x - 5| - 7 \ge 0 \)
\( |x - 5| \ge 7 \)
\( x - 5 \ge 7 \) или \( x - 5 \le -7 \)
\( x \ge 12 \) или \( x \le -2 \)
Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup [12; +\infty) \).

г) \( |2x - 1| < |4x + 1| \)
Возведем обе части в квадрат:
\( (2x - 1)^2 < (4x + 1)^2 \)
\( 4x^2 - 4x + 1 < 16x^2 + 8x + 1 \)
\( 0 < 12x^2 + 12x \)
\( 12x(x + 1) > 0 \)
Корни: \( x = 0, x = -1 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty) \).

д) \( |2x + 3| < |3x - 1| \)
Возведем обе части в квадрат:
\( (2x + 3)^2 < (3x - 1)^2 \)
\( 4x^2 + 12x + 9 < 9x^2 - 6x + 1 \)
\( 0 < 5x^2 - 18x - 8 \)
Найдем корни \( 5x^2 - 18x - 8 = 0 \): \( D = (-18)^2 - 4(5)(-8) = 324 + 160 = 484 \). \( x_1 = \frac{18 + 22}{10} = 4 \), \( x_2 = \frac{18 - 22}{10} = -0.4 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -0.4) \cup (4; +\infty) \).

е) \( |1 - 3x| - |2x + 3| \ge 0 \)
\( |1 - 3x| \ge |2x + 3| \)
Возведем обе части в квадрат:
\( (1 - 3x)^2 \ge (2x + 3)^2 \)
\( 1 - 6x + 9x^2 \ge 4x^2 + 12x + 9 \)
\( 5x^2 - 18x - 8 \ge 0 \)
Корни: \( x = 4, x = -0.4 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -0.4] \cup [4; +\infty) \).

ж) \( x^2 + 2|x| \le 63 \)
Рассмотрим два случая:
1) \( x \ge 0 \): \( x^2 + 2x - 63 \le 0 \). Корни \( x^2 + 2x - 63 = 0 \): \( D = 4 - 4(1)(-63) = 4 + 252 = 256 \). \( x_1 = \frac{-2 + 16}{2} = 7 \), \( x_2 = \frac{-2 - 16}{2} = -9 \). Решение: \( -9 \le x \le 7 \). Учитывая \( x \ge 0 \): \( 0 \le x \le 7 \).
2) \( x < 0 \): \( x^2 - 2x - 63 \le 0 \). Корни \( x^2 - 2x - 63 = 0 \): \( D = 4 - 4(1)(-63) = 256 \). \( x_1 = \frac{2 + 16}{2} = 9 \), \( x_2 = \frac{2 - 16}{2} = -7 \). Решение: \( -7 \le x \le 9 \). Учитывая \( x < 0 \): \( -7 \le x < 0 \).
Объединяем решения: \( -7 \le x \le 7 \).
Ответ: \( x \in [-7; 7] \).

з) \( x^2 + |5x + 6| > 0 \)
Если \( 5x + 6 \ge 0 \) (т.е. \( x \ge -1.2 \)): \( x^2 + 5x + 6 > 0 \). Корни \( x^2 + 5x + 6 = 0 \): \( D = 25 - 24 = 1 \). \( x_1 = -2, x_2 = -3 \). Решение \( x < -2 \) или \( x > -3 \). С учетом \( x \ge -1.2 \): \( x > -1.2 \).

Если \( 5x + 6 < 0 \) (т.е. \( x < -1.2 \)): \( x^2 - 5x - 6 > 0 \). Корни \( x^2 - 5x - 6 = 0 \): \( D = 25 - 4(1)(-6) = 49 \). \( x_1 = 6, x_2 = -1 \). Решение \( x < -1 \) или \( x > 6 \). С учетом \( x < -1.2 \): \( x < -1.2 \).

Объединяем решения: \( x > -1.2 \) или \( x < -1.2 \). Это верно для всех \( x \).
Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \).

и) \( |5x^2 - 2x + 1| < 1 \)
-1 < \( 5x^2 - 2x + 1 < 1 \)
1) \( 5x^2 - 2x + 1 < 1 \)
\( 5x^2 - 2x < 0 \)
\( x(5x - 2) < 0 \)
0 < x < 0.4.
2) \( 5x^2 - 2x + 1 > -1 \)
\( 5x^2 - 2x + 2 > 0 \)
Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(5)(2) = 4 - 40 = -36 \). Так как D < 0 и ветви параболы вверх, неравенство верно для всех \( x \).
Объединяем: \( 0 < x < 0.4 \).
Ответ: \( x \in (0; 0.4) \).

к) \( |x - 4| + |x + 4| \le 10 \)
Рассмотрим интервалы:
1) \( x < -4 \): \( -(x - 4) - (x + 4) \le 10 \) → \( -x + 4 - x - 4 \le 10 \) → \( -2x \le 10 \) → \( x \ge -5 \). Решение: \( -5 \le x < -4 \).

2) \( -4 \le x < 4 \): \( -(x - 4) + (x + 4) \le 10 \) → \( -x + 4 + x + 4 \le 10 \) → \( 8 \le 10 \). Верно для всех \( x \) в этом интервале: \( -4 \le x < 4 \).

3) \( x \ge 4 \): \( (x - 4) + (x + 4) \le 10 \) → \( 2x \le 10 \) → \( x \le 5 \). Решение: \( 4 \le x \le 5 \).

Объединяем: \( -5 \le x \le 5 \).
Ответ: \( x \in [-5; 5] \).

л) \( |x + 2| + |5x + 2| > 3x + 4 \)
Рассмотрим интервалы:
1) \( x < -2 \): \( -(x + 2) - (5x + 2) > 3x + 4 \) → \( -x - 2 - 5x - 2 > 3x + 4 \) → \( -6x - 4 > 3x + 4 \) → \( -8 > 9x \) → \( x < -8/9 \). Решение: \( x < -2 \).

2) \( -2 \le x < -2/5 \): \( (x + 2) - (5x + 2) > 3x + 4 \) → \( x + 2 - 5x - 2 > 3x + 4 \) → \( -4x > 3x + 4 \) → \( -4 > 7x \) → \( x < -4/7 \). Решение: \( -2 \le x < -4/7 \).

3) \( x \ge -2/5 \): \( (x + 2) + (5x + 2) > 3x + 4 \) → \( 6x + 4 > 3x + 4 \) → \( 3x > 0 \) → \( x > 0 \). Решение: \( x > 0 \).

Объединяем: \( x < -2 \) или \( -2 \le x < -4/7 \) или \( x > 0 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -4/7) \cup (0; +\infty) \).

м) \( |x - 1| + |2 - x| > 3 + x \)
Заметим, что \( |2 - x| = |x - 2| \).
\( |x - 1| + |x - 2| > 3 + x \)
1) \( x < 1 \): \( -(x - 1) - (x - 2) > 3 + x \) → \( -x + 1 - x + 2 > 3 + x \) → \( -2x + 3 > 3 + x \) → \( 0 > 3x \) → \( x < 0 \). Решение: \( x < 0 \).

2) \( 1 \le x < 2 \): \( (x - 1) - (x - 2) > 3 + x \) → \( x - 1 - x + 2 > 3 + x \) → \( 1 > 3 + x \) → \( -2 > x \). Нет решений в этом интервале.

3) \( x \ge 2 \): \( (x - 1) + (x - 2) > 3 + x \) → \( 2x - 3 > 3 + x \) → \( x > 6 \). Решение: \( x > 6 \).

Объединяем: \( x < 0 \) или \( x > 6 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty) \).

н) \( \frac{|x + 2|}{|2x - 3|} < 3 \)
\( |x + 2| < 3|2x - 3| \)
\( |x + 2| < |6x - 9| \)
Возведем в квадрат:
\( (x + 2)^2 < (6x - 9)^2 \)
\( x^2 + 4x + 4 < 36x^2 - 108x + 81 \)
\( 0 < 35x^2 - 112x + 77 \)
Найдем корни \( 35x^2 - 112x + 77 = 0 \): \( D = (-112)^2 - 4(35)(77) = 12544 - 10780 = 1764 \). \( \sqrt{1764} = 42 \).
\( x_1 = \frac{112 - 42}{70} = \frac{70}{70} = 1 \).
\( x_2 = \frac{112 + 42}{70} = \frac{154}{70} = \frac{11}{5} = 2.2 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 1) \cup (2.2; +\infty) \). (Учитываем, что \( 2x - 3
e 0 \), т.е. \( x
e 1.5 \). Это не влияет на результат).

о) \( \frac{|2x - 3|}{|x - 1|} \ge 2 \)
\( |2x - 3| \ge 2|x - 1| \)
\( |2x - 3| \ge |2x - 2| \)
Возведем в квадрат:
\( (2x - 3)^2 \ge (2x - 2)^2 \)
\( 4x^2 - 12x + 9 \ge 4x^2 - 8x + 4 \)
\( -12x + 9 \ge -8x + 4 \)
\( 5 \ge 4x \)
\( x \le 5/4 \).
Учитываем, что \( x - 1
e 0 \), т.е. \( x
e 1 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 1) \cup (1; 1.25] \).

п) \( \frac{x^2 - 7|x| + 10}{x^2 - 6|x| + 9} < 0 \)
Заменим \( |x| \) на \( t \ge 0 \).
\( \frac{t^2 - 7t + 10}{t^2 - 6t + 9} < 0 \)
\( \frac{(t - 2)(t - 5)}{(t - 3)^2} < 0 \)
Знаменатель \( (t - 3)^2 > 0 \) при \( t
e 3 \).
Значит, \( (t - 2)(t - 5) < 0 \).
Решение: \( 2 < t < 5 \).
Подставляем \( |x| \): \( 2 < |x| < 5 \).
Это означает \( (2 < |x| < 5) \) и \( |x|
e 3 \).
\( (2 < x < 5) \) или \( (-5 < x < -2) \).
Ответ: \( x \in (-5; -2) \cup (2; 3) \cup (3; 5) \).

p) \( \frac{x^2 - |x| - 12}{x - 3} \ge 2x \)
Рассмотрим два случая:
1) \( x \ge 0 \): \( \frac{x^2 - x - 12}{x - 3} \ge 2x \)
\( \frac{(x - 4)(x + 3)}{x - 3} \ge 2x \)
\( \frac{(x - 4)(x + 3)}{x - 3} - 2x \ge 0 \)
\( \frac{x^2 - x - 12 - 2x(x - 3)}{x - 3} \ge 0 \)
\( \frac{x^2 - x - 12 - 2x^2 + 6x}{x - 3} \ge 0 \)
\( \frac{-x^2 + 5x - 12}{x - 3} \ge 0 \)
\( \frac{x^2 - 5x + 12}{x - 3} \le 0 \)
Дискриминант \( x^2 - 5x + 12 \) равен \( 25 - 4(12) = 25 - 48 = -23 \). Знаменатель \( x^2 - 5x + 12 \) всегда положителен.
Значит, \( \frac{1}{x - 3} \le 0 \), что означает \( x - 3 < 0 \), т.е. \( x < 3 \).
С учетом \( x \ge 0 \), получаем \( 0 \le x < 3 \).

2) \( x < 0 \): \( \frac{x^2 - (-x) - 12}{x - 3} \ge 2x \)
\( \frac{x^2 + x - 12}{x - 3} \ge 2x \)
\( \frac{(x + 4)(x - 3)}{x - 3} \ge 2x \)
Если \( x
e 3 \) (что выполняется, т.к. \( x < 0 \)), то \( x + 4 \ge 2x \)
\( 4 \ge x \).
С учетом \( x < 0 \), получаем \( x < 0 \).

Объединяем решения: \( 0 \le x < 3 \) или \( x < 0 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 3) \).